Нормальна (жорданова) форма матриць

Нормальна (жорданова) форма матриць . З кожною квадратною матрицею

пов'язаний цілий клас матриць, подібних матриці А. У цьому класі завжди існує матриця, що має спеціальну нормальну (або канонічну) жорданову форму [термін "Н. (ж.) Ф. М." пов'язаний з ім'ям К. Жордана]. На схемі показана жорданова форма деякої матриці 8-го порядку:

(1)

Уздовж головної діагоналі розташовані спеціальні квадратні клітки (на схемі вони обведені пунктиром). Всі елементи матриці, розташовані поза цими клітин, дорівнюють нулю. У кожній діагональної клітці уздовж головної діагоналі повторюється одне і те ж (комплексне) число (в першій клітці l1, в другій l2 і т. Д.); паралельний ряд над головною діагоналлю складається з одиниць. Всі ж інші елементи в діагональних клітках дорівнюють нулю. На наведеній схемі є три діагональні клітки, з яких перша має порядок 4, друга і третя - порядок 2. У загальному ж випадку число клітин і порядки їх можуть бути будь-якими. Серед чисел l1, l2, ... можливі і рівні. Вихідна матриця А в зазначеному прикладі має наступні елементарні подільники: (l - l1) 4, (l - l2) 2, (l - l3) 2. За елементарним делителям матриці однозначно визначається її жорданова форма.

Якщо матриця А має жорданову форму I, то існує неособлива матриця Т така, що А = TIT-1.Заміну матриці А подібної їй матрицею I називають приведенням матриці А до нормальної жорданової формі.

Подання про застосування жорданової форми матриці можна отримати на прикладі системи лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами:



...


в матричної записи:


Введемо нові невідомі функції y1, у2, ... yn за допомогою неособенной матриці < [tik - числа (i, k = 1, 2,., n)]:

,

,

...

;

в матричної записи:

х = Ту.

Підставляючи цей вираз для x в (2), отримаємо:

де матриця I пов'язана з матрицею А рівністю:


А = TIT-1.

Зазвичай матрицю Т підбирають так, щоб матриця А мала жорданову форму. В цьому випадку система рівнянь (3) значно простіше системи (2). Так, наприклад, при n = 8, якщо матриця

має жорданову форму (1), то система (3) матиме вигляд:

,

,

,

,.

Інтегрування такої системи зводиться до багаторазового інтегрування одного диференціального рівняння.

Літ. см. при ст. Матриця.


Велика радянська енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія. 1969-1978.

Популярні Пости

Рекомендуємо, 2018

Непер Джон
Велика радянська енциклопедія

Непер Джон

Непер, Нейпір (Napier) Джон (1550 Мерчістон-Касл, поблизу Единбурга, - 4. 4. 1617, там же), шотландський математик, винахідник логарифмів. Навчався в Единбурзькому університеті. Основними ідеями вчення про логарифми Н. опанував не пізніше 1594, однак його "Опис дивовижної таблиці логарифмів", в якому викладено це вчення, було видано в 1614.
Читати Далі
Платинування
Велика радянська енциклопедія

Платинування

1) Нанесення на поверхню металевих виробів тонкого шару платини (товщиною 1-5 мкм ) для підвищення їх корозійної стійкості, відбивної здатності, зносостійкості, а також для забезпечення сталості контактної електропровідності. Покриття наносяться гальванічним способом (див. Гальванотехніка) з фосфатних або (рідше) діамінодінітрітних електролітів, що містять солі платини.
Читати Далі
Органічний статут Королівства Польського +1832
Велика радянська енциклопедія

Органічний статут Королівства Польського +1832

Конституційний статут Королівства Польського, введений після придушення Польського повстання 1830-31 (Див. Польське повстання 1830-31) замість конституції 1815. Видано 14 (26) лютого 1832 в Петербурзі Миколою i. Скасовуючи існували раніше елементи польської державності (сейм, окрему польську армію і ін.
Читати Далі
Побєдоносцев Костянтин Петрович
Велика радянська енциклопедія

Побєдоносцев Костянтин Петрович

Побєдоносцев Костянтин Петрович [21. 5 (2. 6). 1827 Москва, - 10 (23). 3. 1907, Петербург], російський реакційний державний діяч, юрист, обер-прокурор Синоду. Син професора Московського університету. Закінчив училище правознавства (1846). Служив чиновником в департаментах Сенату. У 1860-65 професор кафедри цивільного права в Московському університеті.
Читати Далі
Оріхові лісу
Велика радянська енциклопедія

Оріхові лісу

Ліси, утворені переважно грецьким горіхом (Див. Волоський горіх) і іноді маньчжурським горіхом (Див. Маньчжурський горіх). О. л. з волоського горіха збереглися в горах Середньої Азії на висоті приблизно від 1000 до 2300 м . Найбільші масиви О. л. зосереджені на схилах Чаткальского і Ферганського хребтів.
Читати Далі
Побузьке
Велика радянська енциклопедія

Побузьке

Селище міського типу в Голованівському районі Кіровоградської області УРСР. Розташований на р. Буг, в 26 км від ж. -д. станції Голта (на лінії Підгородна - Балта). Нікелевий завод, консервний завод. Велика радянська енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія. 1969-1978.
Читати Далі
Петерман серпня
Велика радянська енциклопедія

Петерман серпня

Петерман (Petermann) Август (18. 4. 1822, Блейхероде, - 25. 9. 1878 Гота), німецький картограф і географ, доктор філософії (1854). У 1855 заснував у м Гота (Німеччина) і редагував журнал "Mitteilungen aus Justus Pertheś Geographischer Anstalt", який став провідним географічним і картографічних журналом (нині видається в ГДР, в м Гота під назвою "Petermanns Geographische Mitteilungen" під редакцією професора доктора Ернста Нефа).
Читати Далі
Поалей Ціон
Велика радянська енциклопедія

Поалей Ціон

(ПЦ) (Робітники Сіону), дрібнобуржуазні єврейські націоналістичні організації, які намагалися поєднати ідеали соціалізму з сіонізмом : виникли на початку 20 ст. в ряді країн. У Росії одна з перших груп ПЦ утворилася в 1901 в Катеринославі; основна частина груп діяла на Україні. Підкреслюючи ремісничий, що не індустріальний характер єврейського пролетаріату за царату, ПЦ заперечували можливість залучення єврейських трудящих мас у велику промисловість і виводили звідси необхідність їх переселення
Читати Далі