Узагальнені функції

математичне поняття, що узагальнює класичне поняття Функції. Потреба в такому узагальненні виникає в багатьох фізичних і математичних задачах. Поняття О. ф. , З одного боку, дає можливість висловити в математично коректній формі такі ідеалізовані поняття, як щільність матеріальної точки (просторова), щільність простого або подвійного шару, інтенсивність миттєвого джерела і т. Д. З іншого боку, в понятті О. ф. знаходить відображення той факт, що реально не можна виміряти значення фізичної. величини в точці, а можна вимірювати лише її середні значення в досить малих околицях даної точки. Таким чином, О. ф. служать зручним апаратом для опису розподілів різних фізичних величин. Тому в іноземній літературі О. ф. називають розподілами. О. ф. були введені вперше в кінці 20-х рр. 20 в. П. Дираком в його дослідженнях по квантовій механіці, де він систематично використовує поняття дельта-функції (Див. Дельта-функція) і її похідних. Основи математичної теорії О. ф. були закладені С. Л. Соболєвим в 1936 при вирішенні Коші завдання (Див. Коші завдання) для гіперболічний. рівнянь, а в повоєнні роки французький математик Л. Шварц дав систематичний виклад теорії О. ф. Надалі теорію О. ф. інтенсивно розвивали багато математиків, головним чином у зв'язку з потребами математичної фізики.Теорія О. ф. має численні застосування і все ширше входить в ужиток фізика, математика та інженера. Формально О. ф. визначаються як лінійні безперервні Функціонали над тим чи іншим лінійним простором (Див. Лінійний простір) основних функцій φ (x) . Основним простором функцій є, наприклад, сукупність нескінченно диференційовних фінітних функцій, забезпечена належною збіжність (або, точніше, топологією). При цьому звичайні локально підсумовувані функції f (x) ототожнюються з функціоналом (регулярними О. ф.) Вигляду ( f, φ ) = ∫ f (x) φ (x ) dx . (1) Довільна О. ф. f визначається як функціонал f ' , що задається рівністю (f', φ) = - (f, φ '). (2) При такій угоді кожна О. ф. нескінченно диференційована (в узагальненому сенсі). Рівність (2) в силу (1) є не що інше, як узагальнення формули інтегрування частинами для диференційовних в звичайному сенсі функцій f (x) , так що в цьому випадку обидва поняття похідної збігаються. Збіжність на (лінійному) безлічі О. ф. вводиться як слабка збіжність функціоналів. Виявляється, що операція диференціювання О. ф. неперервна, а сходиться послідовність О. ф. допускає почленное диференціювання нескінченне число разів. Вводяться і інші операції над О. ф. , Наприклад Згортка функцій, Фур'є перетворення, Лапласа перетворення. Теорія цих операцій набуває найбільш просту і закінчену форму в рамках поняття О. ф. , Що розширюють можливості класичного математичного аналізу. Тому використання О. ф. істотно розширює коло розглянутих завдань і до того ж призводить до значних спрощень, автоматизуючи елементарні операції.Приклади. 1) δ-функція Дірака: (δ, φ) = φ (0), описує щільність маси (заряду) 1, зосередженої в точці х = 0, одиничний імпульс. 2) θ (x) - функція Хевісайда: θ (x) = 0, х ≤ 0, θ (x) = 1, x> 0, θ '= δ; похідна від неї дорівнює одиничному імпульсу. 3) -δ '- щільність диполя моменту 1 в точці х = 0, орієнтованого уздовж осі х . 4) μδ s - щільність простого шару на поверхні S з поверхневою щільністю μ:

5)

n :

6) Згортка

- > ньютонів потенціал з щільністю f , де f - будь-яка О. ф. [Наприклад, з 1), 3), 4) і 5)]. 7) Загальне рішення рівняння коливань струни задається формулою

u (х, t) = f (x + at) + g (x - at), де f і g - будь-які О. ф. Літ. : Дірак П. А. М., Основи квантової механіки, пров. з англ. , М. -Л. , 1932; Soboleff S., Méthode nouvelle á resoudre le probléme de Cauchy pour les équations lineaires hyperboliques normales, "Математичний збірник", 1936, т. 1 (43), № 1 (резюме на рус. Яз.); Schwartz L., Théorie des distributions, t. 1-2, P., 1950-51; Гельфанд І. М., Шилов Г. Є., Узагальнені функції та дії над ними, 2 видавництва. , М., 1959; Владимиров В. С., Рівняння математичної фізики, 2 видавництва. , М., 1971. В. С. Владимиров. Велика радянська енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія. 1969-1978.

Популярні Пости

Рекомендуємо, 2018

14858. 7
Довідник ГОСТів

14858. 7

ГОСТ 14858. 7 {-91} Силикокальций. Методи визначення алюмінію. ОКС: 77. 100 КГС: В19 Методи випробувань. Упаковка. Маркування Натомість: ГОСТ 14858. 7-81 Дія: З 01. 01. 93 Текст документа: ГОСТ 14858. 7 "Силикокальций. Методи визначення алюмінію." довідник ГОСТів. 2009.
Читати Далі
СІТІ
Фінансовий словник

СІТІ

СІТІ (City) Фінансовий район Лондона, в якому розташовані головні відділення банків, грошові ринки, валютні ринки, товарні біржі і Біржа металів, компанії, що діють на страховому ринку (включаючи "Ллойдс" (Lloyd 's), Лондонську фондову біржу (London Stock Exchange) і офіси представництв іноземних фінансових установ.
Читати Далі
50740
Довідник ГОСТів

50740

ГОСТ Р 50740 {-95} Триботехнические вимоги і показники. Принципи забезпечення. Загальні положення. ОКС: 19. 060 КГС: Т51 Система документації, яка визначає показники якості, надійності і довговічності продукції Дія: З 01. 01. 96 Текст документа: ГОСТ Р 50740 "Триботехнические вимоги і показники. принципи забезпечення.
Читати Далі
Мавпячий процес
Велика радянська енциклопедія

Мавпячий процес

( "Мавпячий процес") поширена назва судового процесу, що проходив 10-21 липня 1925 року в м Дейтон (штат Теннессі, США) над учителем Д. Скопсом, який звинувачувався в тому, що викладав в школі еволюційну теорію Ч. Дарвіна (її викладання в ряді південних штатів було заборонено). звинуватили Елем на суді виступив один з лідерів Демократичної партії У.
Читати Далі
Нунг
Велика радянська енциклопедія

Нунг

Нун (самоназва - бунун), народність, що живе на С. Демократичної Республіки В'єтнам (свище 350 тис. Чол.; 1970, оцінка), а також в Китаї, де вони вважаються етнографічною групою чжуан (Див. чжуан). Мова Н. відноситься до тайським мовам (Див. Тайські мови). Зберігаються стародавні анімістичні вірування.
Читати Далі
Формула винаходу
Фінансовий словник

Формула винаходу

Формула винаходу Формула винаходу - складена за встановленими нормативними документами правилами коротка словесна характеристика технічної суті винаходу, що визначає його обсяг. Див. також: Винаходи Фінансовий словник Фінам. .
Читати Далі
Поперечна компенсація
Велика радянська енциклопедія

Поперечна компенсація

Паралельне включення пристроїв (Див. Компенсуючі пристрою) в електричну систему з метою зміни реактивних параметрів ліній електропередачі (ЛЕП) змінного струму і реактивної потужності, споживаної в системі. В ЛЕП великої протяжності для П. к. Застосовують переважно реактори електричні (Див. Реактор електричний) ; їх встановлюють на електричних підстанціях і перемикачів пунктах.
Читати Далі
Поліцкий статут
Велика радянська енциклопедія

Поліцкий статут

Збірник норм середньовічного права, що мали силу в Полице (poljica; область в Далмації, що користувалася автономними правами) до початку 19 ст. Збережений текст П. с. написаний на древнехорватском мовою. Перші статті П. с. складені або в 1400, або в середині 15 ст. Різночасові постанови П. с. містять норми кримінального, цивільного і процесуального права, характеризують соціально-економічні відносини в громадах Полиці в 15-18 ст.
Читати Далі