Узагальнені функції

математичне поняття, що узагальнює класичне поняття Функції. Потреба в такому узагальненні виникає в багатьох фізичних і математичних задачах. Поняття О. ф. , З одного боку, дає можливість висловити в математично коректній формі такі ідеалізовані поняття, як щільність матеріальної точки (просторова), щільність простого або подвійного шару, інтенсивність миттєвого джерела і т. Д. З іншого боку, в понятті О. ф. знаходить відображення той факт, що реально не можна виміряти значення фізичної. величини в точці, а можна вимірювати лише її середні значення в досить малих околицях даної точки. Таким чином, О. ф. служать зручним апаратом для опису розподілів різних фізичних величин. Тому в іноземній літературі О. ф. називають розподілами. О. ф. були введені вперше в кінці 20-х рр. 20 в. П. Дираком в його дослідженнях по квантовій механіці, де він систематично використовує поняття дельта-функції (Див. Дельта-функція) і її похідних. Основи математичної теорії О. ф. були закладені С. Л. Соболєвим в 1936 при вирішенні Коші завдання (Див. Коші завдання) для гіперболічний. рівнянь, а в повоєнні роки французький математик Л. Шварц дав систематичний виклад теорії О. ф. Надалі теорію О. ф. інтенсивно розвивали багато математиків, головним чином у зв'язку з потребами математичної фізики.Теорія О. ф. має численні застосування і все ширше входить в ужиток фізика, математика та інженера. Формально О. ф. визначаються як лінійні безперервні Функціонали над тим чи іншим лінійним простором (Див. Лінійний простір) основних функцій φ (x) . Основним простором функцій є, наприклад, сукупність нескінченно диференційовних фінітних функцій, забезпечена належною збіжність (або, точніше, топологією). При цьому звичайні локально підсумовувані функції f (x) ототожнюються з функціоналом (регулярними О. ф.) Вигляду ( f, φ ) = ∫ f (x) φ (x ) dx . (1) Довільна О. ф. f визначається як функціонал f ' , що задається рівністю (f', φ) = - (f, φ '). (2) При такій угоді кожна О. ф. нескінченно диференційована (в узагальненому сенсі). Рівність (2) в силу (1) є не що інше, як узагальнення формули інтегрування частинами для диференційовних в звичайному сенсі функцій f (x) , так що в цьому випадку обидва поняття похідної збігаються. Збіжність на (лінійному) безлічі О. ф. вводиться як слабка збіжність функціоналів. Виявляється, що операція диференціювання О. ф. неперервна, а сходиться послідовність О. ф. допускає почленное диференціювання нескінченне число разів. Вводяться і інші операції над О. ф. , Наприклад Згортка функцій, Фур'є перетворення, Лапласа перетворення. Теорія цих операцій набуває найбільш просту і закінчену форму в рамках поняття О. ф. , Що розширюють можливості класичного математичного аналізу. Тому використання О. ф. істотно розширює коло розглянутих завдань і до того ж призводить до значних спрощень, автоматизуючи елементарні операції.Приклади. 1) δ-функція Дірака: (δ, φ) = φ (0), описує щільність маси (заряду) 1, зосередженої в точці х = 0, одиничний імпульс. 2) θ (x) - функція Хевісайда: θ (x) = 0, х ≤ 0, θ (x) = 1, x> 0, θ '= δ; похідна від неї дорівнює одиничному імпульсу. 3) -δ '- щільність диполя моменту 1 в точці х = 0, орієнтованого уздовж осі х . 4) μδ s - щільність простого шару на поверхні S з поверхневою щільністю μ:

5)

n :

6) Згортка

- > ньютонів потенціал з щільністю f , де f - будь-яка О. ф. [Наприклад, з 1), 3), 4) і 5)]. 7) Загальне рішення рівняння коливань струни задається формулою

u (х, t) = f (x + at) + g (x - at), де f і g - будь-які О. ф. Літ. : Дірак П. А. М., Основи квантової механіки, пров. з англ. , М. -Л. , 1932; Soboleff S., Méthode nouvelle á resoudre le probléme de Cauchy pour les équations lineaires hyperboliques normales, "Математичний збірник", 1936, т. 1 (43), № 1 (резюме на рус. Яз.); Schwartz L., Théorie des distributions, t. 1-2, P., 1950-51; Гельфанд І. М., Шилов Г. Є., Узагальнені функції та дії над ними, 2 видавництва. , М., 1959; Владимиров В. С., Рівняння математичної фізики, 2 видавництва. , М., 1971. В. С. Владимиров. Велика радянська енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія. 1969-1978.

Популярні Пости

Рекомендуємо, 2018

Ньyoпор Едуар
Велика радянська енциклопедія

Ньyoпор Едуар

Ньyoпор (Nieuport) Едуар (неправильно - Ньюпор) (24. 8. 1875, Бліда, Алжир, - 16. 9. 1911 Шарні, поблизу Вердена, Франція), французький льотчик і конструктор літаків. У 1910 Н. першим в світі побудував моноплан з глибоким, повністю обтягнутим полотном фюзеляжем, в якому льотчик був прихований за шию.
Читати Далі
Металографія
Велика радянська енциклопедія

Металографія

(Від Метали і ... графія наука про структуру металів і сплавів; складова частина металознавства (Див. Металознавство). М. вивчає закономірності утворення структури, досліджуючи макроструктуру (Див. Макроструктура) і мікроструктуру (Див . Мікроструктура) металу (шляхом спостереження неозброєний вим оком або за допомогою світлового і електронного мікроскопів).
Читати Далі
Осмогласіе
Велика радянська енциклопедія

Осмогласіе

Система, що застосовується при музичному оформленні православного богослужіння. Сформувалася в Візантії після 4 ст. в зв'язку з певними гимнической текстами. 8 голосів становили цикл (російська "стовп"), який кілька разів повторювався протягом року. Згодом виникали національні різновиди, котрі володіли своїми музичні особливостями.
Читати Далі
Полторацький Віктор Васильович
Велика радянська енциклопедія

Полторацький Віктор Васильович

Полторацький (псевдонім; справжнє прізвище Полторацький-Погостін) Віктор Васильович [р. 18. 4 (1. 5). 1907 році, Ашхабад], російський радянський письменник. Член КПРС з 1939. Закінчив педагогічний інститут в Ярославлі (1933). Працював в газетах рр. Іванова і Москви. Головний редактор газети "Література і життя" (1958-61).
Читати Далі
Нетто Ігор Олександрович
Велика радянська енциклопедія

Нетто Ігор Олександрович

Нетто Ігор Олександрович (р. 9. 1. 1930 Москва), радянський спортсмен, заслужений майстер спорту (1954), тренер (футбол). Член КПРС з 1966. Багаторазовий чемпіон СРСР (5 разів в 1952-62, в складі московської команди "Спартак", півзахисник). У 1952-63 виступав у складі збірної команди СРСР, був її капітаном, в тому числі при виграші олімпійського турніру +1956 (Мельбурн) і Кубка Європи (1960, Париж).
Читати Далі
Мен (острів)
Велика радянська енциклопедія

Мен (острів)

Мен (Møn), острів в Балтійському морі, в групі Датських островів. Належить Данії. Площа 218 км2. Низинна поверхню з моренними грядами висотою до 143 м. Значна частина території оброблена (зернові, цукровий буряк, кормові трави). Основний населений пункт - стегон. Велика радянська енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія.
Читати Далі
Нафта нафталанской рафінована
Велика радянська енциклопедія

Нафта нафталанской рафінована

Складна суміш нафтенових і ароматичних вуглеводнів і смол. Питома вага 0, 925-0, 960 г / см 3 ; з водою не змішується. Препарати Н. н. р. застосовують в медицині для лікування дерматиту, екземи, невродерміта, свербежу, пиодермий, опіків і ін., а також при запальних захворюваннях суглобів і м'язів, невралгіях, радикулітах, плекситах.
Читати Далі