Узагальнені функції

математичне поняття, що узагальнює класичне поняття Функції. Потреба в такому узагальненні виникає в багатьох фізичних і математичних задачах. Поняття О. ф. , З одного боку, дає можливість висловити в математично коректній формі такі ідеалізовані поняття, як щільність матеріальної точки (просторова), щільність простого або подвійного шару, інтенсивність миттєвого джерела і т. Д. З іншого боку, в понятті О. ф. знаходить відображення той факт, що реально не можна виміряти значення фізичної. величини в точці, а можна вимірювати лише її середні значення в досить малих околицях даної точки. Таким чином, О. ф. служать зручним апаратом для опису розподілів різних фізичних величин. Тому в іноземній літературі О. ф. називають розподілами. О. ф. були введені вперше в кінці 20-х рр. 20 в. П. Дираком в його дослідженнях по квантовій механіці, де він систематично використовує поняття дельта-функції (Див. Дельта-функція) і її похідних. Основи математичної теорії О. ф. були закладені С. Л. Соболєвим в 1936 при вирішенні Коші завдання (Див. Коші завдання) для гіперболічний. рівнянь, а в повоєнні роки французький математик Л. Шварц дав систематичний виклад теорії О. ф. Надалі теорію О. ф. інтенсивно розвивали багато математиків, головним чином у зв'язку з потребами математичної фізики.Теорія О. ф. має численні застосування і все ширше входить в ужиток фізика, математика та інженера. Формально О. ф. визначаються як лінійні безперервні Функціонали над тим чи іншим лінійним простором (Див. Лінійний простір) основних функцій φ (x) . Основним простором функцій є, наприклад, сукупність нескінченно диференційовних фінітних функцій, забезпечена належною збіжність (або, точніше, топологією). При цьому звичайні локально підсумовувані функції f (x) ототожнюються з функціоналом (регулярними О. ф.) Вигляду ( f, φ ) = ∫ f (x) φ (x ) dx . (1) Довільна О. ф. f визначається як функціонал f ' , що задається рівністю (f', φ) = - (f, φ '). (2) При такій угоді кожна О. ф. нескінченно диференційована (в узагальненому сенсі). Рівність (2) в силу (1) є не що інше, як узагальнення формули інтегрування частинами для диференційовних в звичайному сенсі функцій f (x) , так що в цьому випадку обидва поняття похідної збігаються. Збіжність на (лінійному) безлічі О. ф. вводиться як слабка збіжність функціоналів. Виявляється, що операція диференціювання О. ф. неперервна, а сходиться послідовність О. ф. допускає почленное диференціювання нескінченне число разів. Вводяться і інші операції над О. ф. , Наприклад Згортка функцій, Фур'є перетворення, Лапласа перетворення. Теорія цих операцій набуває найбільш просту і закінчену форму в рамках поняття О. ф. , Що розширюють можливості класичного математичного аналізу. Тому використання О. ф. істотно розширює коло розглянутих завдань і до того ж призводить до значних спрощень, автоматизуючи елементарні операції.Приклади. 1) δ-функція Дірака: (δ, φ) = φ (0), описує щільність маси (заряду) 1, зосередженої в точці х = 0, одиничний імпульс. 2) θ (x) - функція Хевісайда: θ (x) = 0, х ≤ 0, θ (x) = 1, x> 0, θ '= δ; похідна від неї дорівнює одиничному імпульсу. 3) -δ '- щільність диполя моменту 1 в точці х = 0, орієнтованого уздовж осі х . 4) μδ s - щільність простого шару на поверхні S з поверхневою щільністю μ:

5)

n :

6) Згортка

- > ньютонів потенціал з щільністю f , де f - будь-яка О. ф. [Наприклад, з 1), 3), 4) і 5)]. 7) Загальне рішення рівняння коливань струни задається формулою

u (х, t) = f (x + at) + g (x - at), де f і g - будь-які О. ф. Літ. : Дірак П. А. М., Основи квантової механіки, пров. з англ. , М. -Л. , 1932; Soboleff S., Méthode nouvelle á resoudre le probléme de Cauchy pour les équations lineaires hyperboliques normales, "Математичний збірник", 1936, т. 1 (43), № 1 (резюме на рус. Яз.); Schwartz L., Théorie des distributions, t. 1-2, P., 1950-51; Гельфанд І. М., Шилов Г. Є., Узагальнені функції та дії над ними, 2 видавництва. , М., 1959; Владимиров В. С., Рівняння математичної фізики, 2 видавництва. , М., 1971. В. С. Владимиров. Велика радянська енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія. 1969-1978.

Популярні Пости

Рекомендуємо, 2018

Москва - третій Рим
Велика радянська енциклопедія

Москва - третій Рим

( "Москва - третій Рим",) політична теорія 16 в. в Росії, що обгрунтовувала всесвітньо-історичне значення столиці Російської держави Москви як політичного і церковного центру. Теорія "М. - т. Р.", викладена в характерній для середньовічного мислення релігійній формі, стверджувала, що історичної спадкоємицею Римської та Візантійської імперій, які загинули, на думку творців цієї теорії, через ухилення від "істинної віри", є Московська Русь - "третій Рим" ( "Два Рима падоша, а третій стоїть, а четв
Читати Далі
Нуллісомія
Велика радянська енциклопедія

Нуллісомія

(Від лат. Nullus - ніякої, неіснуючий і грец. Sōma - тіло) тип геномної Мутації, що полягає у відсутності в клітинах організму будь-якої пари хромосом, в нормі властивої даному виду (див. рис. ). Організми з Н. називаються нуллісомікамі. Н., особливо у вищих тварин, зазвичай веде до загибелі організму.
Читати Далі
Педант
Велика радянська енциклопедія

Педант

(Франц. Pédant, від італ . pedante, спочатку - учитель, педагог) людина, що відрізняється надмірною, перебільшеною точністю, дріб'язковістю, формалізмом, буквоїдством. Велика радянська енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія. 1969-1978.
Читати Далі
Пильні
Велика радянська енциклопедія

Пильні

Селище міського типу, центр Пільнінского району Горьковської області РРФСР. Розташований на лівому березі р. П'яна (басейн Волги). Ж.-д. станція на лінії Арзамас - Казань, в 177 км до Ю. -В. від м Горького. Молокозавод. Велика радянська енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія. 1969-1978.
Читати Далі
Мікроеволюція
Велика радянська енциклопедія

Мікроеволюція

Сукупність пускових еволюційних процесів, що протікають всередині виду, в межах окремих або суміжних популяцій. При цьому популяції (Див. Населення) розглядаються як елементарні еволюційні структури; Мутації , що лежать в основі спадкової мінливості, - як елементарний еволюційний матеріал, а мутаційний процес, Хвилі життя , різні форми ізоляції (Див.
Читати Далі
Платибелодон
Велика радянська енциклопедія

Платибелодон

(Platybelodon) рід вимерлих ссавців ряду хоботних. Зовні П. були схожі на бегемотів. Передня частина нижньої щелепи і бивні (різці) у П. були сильно витягнуті у вигляді лопати і пристосовані для добування рослин з грунту. П. жили по берегах річок, озер. Залишки відомі з міоценових відкладень Північного Кавказу (вперше описаний А.
Читати Далі