Узагальнені функції

математичне поняття, що узагальнює класичне поняття Функції. Потреба в такому узагальненні виникає в багатьох фізичних і математичних задачах. Поняття О. ф. , З одного боку, дає можливість висловити в математично коректній формі такі ідеалізовані поняття, як щільність матеріальної точки (просторова), щільність простого або подвійного шару, інтенсивність миттєвого джерела і т. Д. З іншого боку, в понятті О. ф. знаходить відображення той факт, що реально не можна виміряти значення фізичної. величини в точці, а можна вимірювати лише її середні значення в досить малих околицях даної точки. Таким чином, О. ф. служать зручним апаратом для опису розподілів різних фізичних величин. Тому в іноземній літературі О. ф. називають розподілами. О. ф. були введені вперше в кінці 20-х рр. 20 в. П. Дираком в його дослідженнях по квантовій механіці, де він систематично використовує поняття дельта-функції (Див. Дельта-функція) і її похідних. Основи математичної теорії О. ф. були закладені С. Л. Соболєвим в 1936 при вирішенні Коші завдання (Див. Коші завдання) для гіперболічний. рівнянь, а в повоєнні роки французький математик Л. Шварц дав систематичний виклад теорії О. ф. Надалі теорію О. ф. інтенсивно розвивали багато математиків, головним чином у зв'язку з потребами математичної фізики.Теорія О. ф. має численні застосування і все ширше входить в ужиток фізика, математика та інженера. Формально О. ф. визначаються як лінійні безперервні Функціонали над тим чи іншим лінійним простором (Див. Лінійний простір) основних функцій φ (x) . Основним простором функцій є, наприклад, сукупність нескінченно диференційовних фінітних функцій, забезпечена належною збіжність (або, точніше, топологією). При цьому звичайні локально підсумовувані функції f (x) ототожнюються з функціоналом (регулярними О. ф.) Вигляду ( f, φ ) = ∫ f (x) φ (x ) dx . (1) Довільна О. ф. f визначається як функціонал f ' , що задається рівністю (f', φ) = - (f, φ '). (2) При такій угоді кожна О. ф. нескінченно диференційована (в узагальненому сенсі). Рівність (2) в силу (1) є не що інше, як узагальнення формули інтегрування частинами для диференційовних в звичайному сенсі функцій f (x) , так що в цьому випадку обидва поняття похідної збігаються. Збіжність на (лінійному) безлічі О. ф. вводиться як слабка збіжність функціоналів. Виявляється, що операція диференціювання О. ф. неперервна, а сходиться послідовність О. ф. допускає почленное диференціювання нескінченне число разів. Вводяться і інші операції над О. ф. , Наприклад Згортка функцій, Фур'є перетворення, Лапласа перетворення. Теорія цих операцій набуває найбільш просту і закінчену форму в рамках поняття О. ф. , Що розширюють можливості класичного математичного аналізу. Тому використання О. ф. істотно розширює коло розглянутих завдань і до того ж призводить до значних спрощень, автоматизуючи елементарні операції.Приклади. 1) δ-функція Дірака: (δ, φ) = φ (0), описує щільність маси (заряду) 1, зосередженої в точці х = 0, одиничний імпульс. 2) θ (x) - функція Хевісайда: θ (x) = 0, х ≤ 0, θ (x) = 1, x> 0, θ '= δ; похідна від неї дорівнює одиничному імпульсу. 3) -δ '- щільність диполя моменту 1 в точці х = 0, орієнтованого уздовж осі х . 4) μδ s - щільність простого шару на поверхні S з поверхневою щільністю μ:

5)

n :

6) Згортка

- > ньютонів потенціал з щільністю f , де f - будь-яка О. ф. [Наприклад, з 1), 3), 4) і 5)]. 7) Загальне рішення рівняння коливань струни задається формулою

u (х, t) = f (x + at) + g (x - at), де f і g - будь-які О. ф. Літ. : Дірак П. А. М., Основи квантової механіки, пров. з англ. , М. -Л. , 1932; Soboleff S., Méthode nouvelle á resoudre le probléme de Cauchy pour les équations lineaires hyperboliques normales, "Математичний збірник", 1936, т. 1 (43), № 1 (резюме на рус. Яз.); Schwartz L., Théorie des distributions, t. 1-2, P., 1950-51; Гельфанд І. М., Шилов Г. Є., Узагальнені функції та дії над ними, 2 видавництва. , М., 1959; Владимиров В. С., Рівняння математичної фізики, 2 видавництва. , М., 1971. В. С. Владимиров. Велика радянська енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія. 1969-1978.

Популярні Пости

Рекомендуємо, 2019

ДЕПОЗИТИ УРЯДУ
Фінансовий словник

ДЕПОЗИТИ УРЯДУ

ДЕПОЗИТИ УРЯДУ (public deposits) Сальдо рахунків на користь державних установ в Банку Англії. Фінанси. Тлумачний словник. 2-е изд. - М.: "ИНФРА-М", Видавництво "Всесвіт". Брайен Батлер, Брайен Джонсон, Грем Сідуел і ін. Загальна редакція: д. Е. н. Осадча І. М.. 2000. .
Читати Далі
Проста ліцензія
Фінансовий словник

Проста ліцензія

Проста ліцензія Проста ліцензія - ліцензія, що надає ліцензіату право на використання предмета ліцензійної угоди . При цьому ліцензіар залишає за собою право експлуатувати предмет угоди у власних інтересах, а також видавати на тих же умовах ліцензії будь-яким іншим ліцензіатам. По-англійськи: Unexclusive license Синоніми: Невиключна ліцензія Див.
Читати Далі
Паблік скулз
Велика радянська енциклопедія

Паблік скулз

(Public schools) приватні привілейовані середні школи у Великій Британії, що зберігають аристократичні традиції. Більшість з них є школами-інтернатами. Найбільшою популярністю користуються 9 аристократичних, так званих великих, П. с. : Вінчестер (заснована в 1387), Ітон (1 441), Шрусбері (1551), Вестмінстер (1566), Регбі (1567), Харроу (1 571), Школа св.
Читати Далі
Нижні планети
Велика радянська енциклопедія

Нижні планети

Дві великі планети Сонячної системи - Меркурій і Венера, орбіти яких розташовані всередині орбіти Землі. Назва "Н. п." пов'язане з геоцентричної системою світу (Див. Системи світу) , в якій ці планети вважалися розташованими нижче сфери Сонця. Планети, що розташовувалися, згідно з цією системою, над вказаною сферою, називалися верхніми планетами (Див.
Читати Далі
28258
Довідник ГОСТів

28258

ГОСТ 28258 {-89} Прилади рентгенорадіометрічеський. Типи, основні параметри і технічні вимоги. ОКС: 17. 240 КГС: ф28 Спеціальні пристрої апаратури для вимірювання іонізуючих випромінювань Натомість: ГОСТ 22462-77 Дія: З 01. 07. 90 Текст документа: ГОСТ 28258 "Прилади рентгенорадіометрічеський. Типи, основні параметри і технічні вимоги.
Читати Далі
16401
Довідник ГОСТів

16401

ГОСТ 16401 {-70} Кишки-сирець консервовані. Свинячий комплект. Технічні умови. ОКС: 67. 120. 10 КГС: Н14 Кишкові продукти Натомість: ОСТ КЗ РНК 367 Дія: З 01. 07. 71 Змінено: ІКС 9 / 84 Примітка: втратив чинність на території РФ. Діють ТУ 10. 02. 01. 147-91; перевидання 1985 Текст документа: ГОСТ 16401 "Кишки-сирець консервовані.
Читати Далі
8. 310
Довідник ГОСТів

8. 310

ГОСТ 8. 310 {-90} ГСИ. Державна служба стандартних довідкових даних. Основні положення. ОКС: 17. 020 КГС: Т80 Правила, норми, положення в галузі забезпечення єдності вимірювань (основоположні НТД) Натомість: ГОСТ 8. 310-78, ГОСТ 8. 344-79, ГОСТ 8. 494 -83, РД 50-349-82 Дія: З 01. 07. 91 Текст документа: ГОСТ 8.
Читати Далі
Середньозважена кількість циркулюючих звичайних акцій за період
Фінансовий словник

Середньозважена кількість циркулюючих звичайних акцій за період

Середньозважена кількість циркулюючих звичайних акцій за період Середньозважена кількість циркулюючих звичайних акцій за період - кількість звичайних акцій, випущених і обертаються на початок періоду, скоригована на кількість погашених, викуплених емітентом або випущених за період акцій, помножене на тимчасовій ваговій множник.
Читати Далі