Поле (алгебраїч.)

Поле алгебраїчне, важливе алгебраїчне поняття, часто використовується як в самій алгебрі, так і в ін. Відділах математики і що є предметом самостійного вивчення.

Над звичайними числами можна виробляти чотири арифметичних дії (основні - додавання і множення, і зворотні їм - віднімання і ділення). Цим же характеризуються і П. Полем називається всяка сукупність (або безліч) елементів, над якими можна виробляти дві дії - додавання і множення, що підкоряються звичайним законам (аксіомам) арифметики:

I. Додавання і множення комутативні і асоціативні, т. Е. A + b = b + a, ab = ba, a + (b + c) = (a + b) + c, a (bc) = (ab) c.

II. Існує елемент 0 (нуль), для якого завжди а + 0 = а; для кожного елемента а існує протилежний -а, і їх сума дорівнює нулю. Звідси випливає, що в П. здійсненна операція віднімання а - b.

III. Існує елемент е (одиниця), для якого завжди ае = а; для кожного відмінного від нуля елементу а існує зворотний a-1; їх добуток дорівнює одиниці. Звідси випливає можливість поділу на будь-яке не рівне нулю число а.

IV. Зв'язок між операціями додавання і множення дається дистрибутивним законом: a (b + c) = ab + ac.

Наведемо кілька прикладів П.:

1) Сукупність Р всіх раціональних чисел.

2) Сукупність R всіх дійсних чисел.

3) Сукупність До всіх комплексних чисел.

4)

Безліч всіх раціональних функцій від одного або від декількох змінних, наприклад з дійсними коефіцієнтами.

5)

Безліч всіх чисел виду а + b, де а і b - раціональні числа.

6) Вибравши просте число р, розіб'ємо цілі числа на класи, об'єднавши в один клас всі числа, що дають при діленні на р один і той же залишок. Візьмемо в двох класах по представнику і складемо їх; той клас, в який потрапить ця сума, назвемо сумою обраних класів. Аналогічно визначається твір. При такому визначенні складання і множення всі класи утворюють П.; воно складається з р елементів.

З аксіом I, II слід, що елементи П. утворюють комутативну групу щодо складання, а з аксіом I, III - то, що всі відмінні від 0 елементи П. утворюють комутативну групу щодо множення.

Може виявитися, що в П. дорівнює нулю ціле кратне na якого-небудь відмінного від нуля елементу а. У цьому випадку існує таке просте число р, що р-кратне pa будь-якого елементу а цього П. дорівнює нулю. Кажуть, що в цьому випадку характеристика П. дорівнює р (приклад 6). Якщо na & sup1; 0 ні для яких відмінних від нуля n і а, то вважають характеристику П. рівної нулю (приклади 1-5).

Якщо частина F елементів поля G сама утворює П. відносно тих же операцій додавання і множення, то F називається підполем поля G, а G - надполем, або розширенням поля F. П., що не має підполів, називається простим. Всі прості П. вичерпуються П. прикладів 1 і 6 (при всіляких виборах простого числа р). В кожному П. міститься єдине просте підполе (П. прикладів 2-5 містять П. раціональних чисел). Природно було б поставити таке завдання: вирушаючи від простого П., Отримати опис всіх П., вивчивши структуру розширень; приводиться нижче теорема Штейніца робить крок саме в цьому напрямку.

Деякі розширення мають порівняно просту будову. Це - а) прості трансцендентні розширення, які зводяться до того, що за поле G береться П. всіх раціональних функцій від одного змінного з коефіцієнтами з F, і б) прості алгебраїчні розширення (приклад 5), які виходять, якщо сукупність G всіх многочленів ступеня n складати і множити по модулю даного приводиться над F многочлена f (x) ступеня n (конструкція, аналогічна прикладу 6). Розширення другого типу зводяться до того, що ми додаємо до F корінь многочлена f (x) і все ті елементи, які можна виразити через цей корінь і елементи F; кожен елемент надполя G є коренем деякого многочлена з коефіцієнтами з F. Розширення, що володіють останнім властивістю, називається алгеброю. Будь-яке розширення можна виконати в два прийоми: спочатку зробити трансцендентне розширення (утворивши П. раціональних функцій, не обов'язково від однієї змінної), а потім алгебраїчне (теорема Штейніца). Алгебраїчних розширень не мають тільки такі П., в яких кожен многочлен розкладається на лінійні множники. Такі П. називаються алгебраїчно замкнутими. П. комплексних чисел є алгебраїчно замкнутим (алгебри основна теорема). Будь-яке П. можна включити в якості підполя в алгебра замкнуте.

Деякі П. спеціального виду піддалися більш детального вивчення. У теорії чисел алгебри розглядаються головним чином прості алгебраїчні розширення П. раціональних чисел. В теорії алгебраїчних функцій досліджуються прості алгебраїчні розширення П.раціональних функцій з комплексними коефіцієнтами; значна увага приділяється кінцевим розширенням П. раціональних функцій над довільним П. констант (т. е. з довільними коефіцієнтами). Кінцеві розширення П., особливо їх автоморфізм (див. Ізоморфізм), вивчаються в теорії Галуа (див. Галуа теорія); тут знаходять відповідь багато питань, що виникають при вирішенні алгебраїчних рівнянь. У багатьох питаннях алгебри, особливо в різних відділах теорії П., велику роль відіграють нормовані поля. У зв'язку з геометричними дослідженнями з'явилися і вивчалися впорядковані П.

Див. також Алгебра, алгебри число, Алгебраїчна функція, Кільце алгебра.


Літ. : Курош А. Г., Курс вищої алгебри, 10 вид. , М., 1971; Ван дер Варден Б. Л., Сучасна алгебра, пер. з нім. , [2 видавництва.], Ч. 1-2, М. - Л., 1947; Чеботарьов Н. Г., Теорія алгебраїчних функцій, М. - Л., 1948; його ж, Основи теорії Галуа. ч. 1-2, Л. - М., 1934-37; Вейль Г., Алгебраїчна теорія чисел, пров. з англ. , М., 1947.

Велика радянська енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія. 1969-1978.

Популярні Пости

Рекомендуємо, 2018

Ставка купона з цінних паперів
Фінансовий словник

Ставка купона з цінних паперів

Ставка купона з цінних паперів Ставка купона з цінних паперів, забезпечених пулом іпотек - процентна ставка, що виплачується за сек'юритизованими активів цінних паперів, випущених на основі пулу іпотек або інших кредитів. Розмір такої ставки менше розміру ставки, що виплачується за кредитами, які лежать в основі пулу, на суму, що дорівнює комісіям за обслуговування і гарантію кредитів.
Читати Далі
Фіксована пропозиція і чиста економічна рента
Фінансовий словник

Фіксована пропозиція і чиста економічна рента

Фіксована пропозиція і чиста економічна рента Фіксована пропозиція і чиста економічна рента - абсолютно нееластичне пропозицію, характерне для благ, що існують в природі в обмеженій кількості. Для таких благ ціна визначається виключно змінами в попиті. Чистий економічна рента - дохід, принесений фактором виробництва, пропозиція якого абсолютно невідповідно (стабільно) в довгостроковому періоді, за вирахуванням альтернативнихвитрат використання даного чинника.
Читати Далі
28603
Довідник ГОСТів

28603

ГОСТ 28603 {-90} Апарати для УВЧ-терапії. Загальні технічні вимоги та методи випробувань. ОКС: 11. 040. 60 КГС: Р24 Прилади, апарати, приналежності й устаткування, що застосовуються для діагностики і лікування. Ендоскопи Натомість: ОСТ 64-1-166-75 Дія: З 01. 07. 91 Примітка: відповідає МЕК 601-2-3-82 з електробезпеки , перевидання 2005 Текст документа: ГОСТ 28603 "Апарати для УВЧ-терапії.
Читати Далі
Муклевич Ромуальд Адамович
Велика радянська енциклопедія

Муклевич Ромуальд Адамович

Муклевич Ромуальд Адамович [25. 11 (7. 12). 1890 ≈ 9. 2. 1938), радянський військовий діяч. Член Комуністичної партії з 1906. Народився в містечку Супрасль Гродненської губернії в сім'ї польського робочого-текстильника. З 1912 на флоті. Закінчив в Кронштадті школу мотористів (1915) і був при школі унтер-офіцером.
Читати Далі
3. 1706
Довідник ГОСТів

3. 1706

ГОСТ 3. 1706 {-83} ЕСТД. Правила запису операцій і переходів. Кування і гаряче штампування. ОКС: 01. 110, 25. 020 КГС: Т53 Система технологічної документації Дія: З 01. 01. 85 Примітка: перевидання 2003 року в зб. "ЕСТД. ГОСТ 3. 1407-86 ... " Текст документа: ГОСТ 3. 1 706" ЕСТД. Правила запису операцій і переходів.
Читати Далі
9853. 19
Довідник ГОСТів

9853. 19

ГОСТ 9853. 19 {-96} Титан губчастий. Метод визначення хрому. ОКС: 77. 120, 77. 120. 50 КГС: В59 Методи випробувань. Упаковка. Маркування Дія: З 01. 07. 2000 Текст документа: ГОСТ 9853. 19 "Титан губчастий. Метод визначення хрому." Довідник ГОСТів. 2009.
Читати Далі
14820
Довідник ГОСТів

14820

ГОСТ 14820 {- 69} Калібри-пробки гладкі прохідні неповні штамповані діаметром понад 100 до 160 мм. Конструкція і розміри. ОКС: 17. 040. 30 КГС: Г28 Інструмент вимірювальний Натомість: МН 2976-61 і МН 4131-62 Дія: З 01. 01. 71 Змінено: ІКС 5/74, 1/79, 6/84 Примітка: перевидання 1985 зб. "ГОСТ 14807-69" Текст документа: ГОСТ 14820 "Калібри-пробки гладкі прохідні неповні штамповані діаметром понад 100 до 160 мм.
Читати Далі