Поле (алгебраїч.)

Поле алгебраїчне, важливе алгебраїчне поняття, часто використовується як в самій алгебрі, так і в ін. Відділах математики і що є предметом самостійного вивчення.

Над звичайними числами можна виробляти чотири арифметичних дії (основні - додавання і множення, і зворотні їм - віднімання і ділення). Цим же характеризуються і П. Полем називається всяка сукупність (або безліч) елементів, над якими можна виробляти дві дії - додавання і множення, що підкоряються звичайним законам (аксіомам) арифметики:

I. Додавання і множення комутативні і асоціативні, т. Е. A + b = b + a, ab = ba, a + (b + c) = (a + b) + c, a (bc) = (ab) c.

II. Існує елемент 0 (нуль), для якого завжди а + 0 = а; для кожного елемента а існує протилежний -а, і їх сума дорівнює нулю. Звідси випливає, що в П. здійсненна операція віднімання а - b.

III. Існує елемент е (одиниця), для якого завжди ае = а; для кожного відмінного від нуля елементу а існує зворотний a-1; їх добуток дорівнює одиниці. Звідси випливає можливість поділу на будь-яке не рівне нулю число а.

IV. Зв'язок між операціями додавання і множення дається дистрибутивним законом: a (b + c) = ab + ac.

Наведемо кілька прикладів П.:

1) Сукупність Р всіх раціональних чисел.

2) Сукупність R всіх дійсних чисел.

3) Сукупність До всіх комплексних чисел.

4)

Безліч всіх раціональних функцій від одного або від декількох змінних, наприклад з дійсними коефіцієнтами.

5)

Безліч всіх чисел виду а + b, де а і b - раціональні числа.

6) Вибравши просте число р, розіб'ємо цілі числа на класи, об'єднавши в один клас всі числа, що дають при діленні на р один і той же залишок. Візьмемо в двох класах по представнику і складемо їх; той клас, в який потрапить ця сума, назвемо сумою обраних класів. Аналогічно визначається твір. При такому визначенні складання і множення всі класи утворюють П.; воно складається з р елементів.

З аксіом I, II слід, що елементи П. утворюють комутативну групу щодо складання, а з аксіом I, III - то, що всі відмінні від 0 елементи П. утворюють комутативну групу щодо множення.

Може виявитися, що в П. дорівнює нулю ціле кратне na якого-небудь відмінного від нуля елементу а. У цьому випадку існує таке просте число р, що р-кратне pa будь-якого елементу а цього П. дорівнює нулю. Кажуть, що в цьому випадку характеристика П. дорівнює р (приклад 6). Якщо na & sup1; 0 ні для яких відмінних від нуля n і а, то вважають характеристику П. рівної нулю (приклади 1-5).

Якщо частина F елементів поля G сама утворює П. відносно тих же операцій додавання і множення, то F називається підполем поля G, а G - надполем, або розширенням поля F. П., що не має підполів, називається простим. Всі прості П. вичерпуються П. прикладів 1 і 6 (при всіляких виборах простого числа р). В кожному П. міститься єдине просте підполе (П. прикладів 2-5 містять П. раціональних чисел). Природно було б поставити таке завдання: вирушаючи від простого П., Отримати опис всіх П., вивчивши структуру розширень; приводиться нижче теорема Штейніца робить крок саме в цьому напрямку.

Деякі розширення мають порівняно просту будову. Це - а) прості трансцендентні розширення, які зводяться до того, що за поле G береться П. всіх раціональних функцій від одного змінного з коефіцієнтами з F, і б) прості алгебраїчні розширення (приклад 5), які виходять, якщо сукупність G всіх многочленів ступеня n складати і множити по модулю даного приводиться над F многочлена f (x) ступеня n (конструкція, аналогічна прикладу 6). Розширення другого типу зводяться до того, що ми додаємо до F корінь многочлена f (x) і все ті елементи, які можна виразити через цей корінь і елементи F; кожен елемент надполя G є коренем деякого многочлена з коефіцієнтами з F. Розширення, що володіють останнім властивістю, називається алгеброю. Будь-яке розширення можна виконати в два прийоми: спочатку зробити трансцендентне розширення (утворивши П. раціональних функцій, не обов'язково від однієї змінної), а потім алгебраїчне (теорема Штейніца). Алгебраїчних розширень не мають тільки такі П., в яких кожен многочлен розкладається на лінійні множники. Такі П. називаються алгебраїчно замкнутими. П. комплексних чисел є алгебраїчно замкнутим (алгебри основна теорема). Будь-яке П. можна включити в якості підполя в алгебра замкнуте.

Деякі П. спеціального виду піддалися більш детального вивчення. У теорії чисел алгебри розглядаються головним чином прості алгебраїчні розширення П. раціональних чисел. В теорії алгебраїчних функцій досліджуються прості алгебраїчні розширення П.раціональних функцій з комплексними коефіцієнтами; значна увага приділяється кінцевим розширенням П. раціональних функцій над довільним П. констант (т. е. з довільними коефіцієнтами). Кінцеві розширення П., особливо їх автоморфізм (див. Ізоморфізм), вивчаються в теорії Галуа (див. Галуа теорія); тут знаходять відповідь багато питань, що виникають при вирішенні алгебраїчних рівнянь. У багатьох питаннях алгебри, особливо в різних відділах теорії П., велику роль відіграють нормовані поля. У зв'язку з геометричними дослідженнями з'явилися і вивчалися впорядковані П.

Див. також Алгебра, алгебри число, Алгебраїчна функція, Кільце алгебра.


Літ. : Курош А. Г., Курс вищої алгебри, 10 вид. , М., 1971; Ван дер Варден Б. Л., Сучасна алгебра, пер. з нім. , [2 видавництва.], Ч. 1-2, М. - Л., 1947; Чеботарьов Н. Г., Теорія алгебраїчних функцій, М. - Л., 1948; його ж, Основи теорії Галуа. ч. 1-2, Л. - М., 1934-37; Вейль Г., Алгебраїчна теорія чисел, пров. з англ. , М., 1947.

Велика радянська енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія. 1969-1978.

Популярні Пости

Рекомендуємо, 2018

Пенсакола (гори в Антарктиді)
Велика радянська енциклопедія

Пенсакола (гори в Антарктиді)

Пенсакола (Pensacola), гори на західному кордоні Східної Антарктиди, продовження Трансантарктичних хребта в районі, прилеглому до шельфового льодовика Фільхнера. Довжина близько 400 км. висота до 2000 м. Більша частина знаходиться під льодовиковим покривом, над поверхнею якого підносяться тільки окремі вершини (нунатаки) і гірські гряди, складені карбонатними і вугленосними породами палеозою і раннього мезозою.
Читати Далі
Нога
Велика радянська енциклопедія

Нога

Великі і Малі, феодальні державні утворення ногайців, що виникли в результаті розпаду Ногайської Орди в 2-ій половині 16 ст. Н. Великі утворилися з улусів, що кочували в Прикаспії від лівобережжя нижньої Волги до р. Урал. Князі Н. Великих неодноразово визнавали васальну залежність від Москви (в 1555-63, 1 564, 1567); в 1600 Борис Годунов закріпив їх підпорядкування, звівши мурзу Іштерека в сан князя.
Читати Далі
Поленов Дмитро Васильович
Велика радянська енциклопедія

Поленов Дмитро Васильович

Поленов Дмитро Васильович [28. 5 (9. 6). 1 806, Петербург, - 13 (25). 10. 1878 там же], російський історик і бібліограф. Закінчивши Петербурзький університет (1827), служив в МЗС. У 1832-36 секретар російського посольства в Афінах. З 1851 член, а потім секретар Російського археологічного товариства. Належав до істориків державної школи.
Читати Далі
Орджонікідзеабад
Велика радянська енциклопедія

Орджонікідзеабад

(До 1936 - Янгибазар) місто (з 1965), центр Орджонікідзеабадского району Таджицької РСР. Розташований в Гиссарской долині, на лівому березі р. Кафірніган (приплив Аму-Дар'ї). Ж.-д. станція в 21 км на схід від Душанбе. 29 тис. Жителів (1974). Заводи: бавовноочисний, керамзитовий, ремонтно-механічний, металовиробів, цегельний; домобудівний комбінат, мелькомбінат; меблева, бройлерна фабрики.
Читати Далі
Овочерізка
Велика радянська енциклопедія

Овочерізка

Машина або пристосування для подрібнення овочів (фруктів), призначених для консервування чи виготовлення їжі. Застосовується в побуті, на підприємствах громадського харчування і в промисловості (виробничі О.). Найпростіша побутова О. являє собою металеву решітку з ножами і двома ручками. Комбінована побутова О.
Читати Далі
Муні Пол
Велика радянська енциклопедія

Муні Пол

Муні (Muni) Пол (справжнє ім'я і прізвище ≈ Фредер Майер Вайзенфрёйнд; Weisenfreund) (22. 9. 1895 , Львів, ≈ 26. 8. 1967 Санта-Барбара, США), американський актор. З 8 років виступав на сценах різних міст Західної Європи разом з батьками ≈ акторами. У 1926 дебютував в одному з бродвейських театрів Нью-Йорка (надалі періодично працював у багатьох трупах міста).
Читати Далі
Порт-Антоніо
Велика радянська енциклопедія

Порт-Антоніо

(Port Antonio) місто і порт на північному узбережжі Ямайки. 12 тис. Жителів (1970). Ж.-д. станція. Центр району по виробництву бананів. Вивіз бананів і цукру. Туризм. Велика радянська енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія. 1969-1978.
Читати Далі