Поле (алгебраїч.)

Поле алгебраїчне, важливе алгебраїчне поняття, часто використовується як в самій алгебрі, так і в ін. Відділах математики і що є предметом самостійного вивчення.

Над звичайними числами можна виробляти чотири арифметичних дії (основні - додавання і множення, і зворотні їм - віднімання і ділення). Цим же характеризуються і П. Полем називається всяка сукупність (або безліч) елементів, над якими можна виробляти дві дії - додавання і множення, що підкоряються звичайним законам (аксіомам) арифметики:

I. Додавання і множення комутативні і асоціативні, т. Е. A + b = b + a, ab = ba, a + (b + c) = (a + b) + c, a (bc) = (ab) c.

II. Існує елемент 0 (нуль), для якого завжди а + 0 = а; для кожного елемента а існує протилежний -а, і їх сума дорівнює нулю. Звідси випливає, що в П. здійсненна операція віднімання а - b.

III. Існує елемент е (одиниця), для якого завжди ае = а; для кожного відмінного від нуля елементу а існує зворотний a-1; їх добуток дорівнює одиниці. Звідси випливає можливість поділу на будь-яке не рівне нулю число а.

IV. Зв'язок між операціями додавання і множення дається дистрибутивним законом: a (b + c) = ab + ac.

Наведемо кілька прикладів П.:

1) Сукупність Р всіх раціональних чисел.

2) Сукупність R всіх дійсних чисел.

3) Сукупність До всіх комплексних чисел.

4)

Безліч всіх раціональних функцій від одного або від декількох змінних, наприклад з дійсними коефіцієнтами.

5)

Безліч всіх чисел виду а + b, де а і b - раціональні числа.

6) Вибравши просте число р, розіб'ємо цілі числа на класи, об'єднавши в один клас всі числа, що дають при діленні на р один і той же залишок. Візьмемо в двох класах по представнику і складемо їх; той клас, в який потрапить ця сума, назвемо сумою обраних класів. Аналогічно визначається твір. При такому визначенні складання і множення всі класи утворюють П.; воно складається з р елементів.

З аксіом I, II слід, що елементи П. утворюють комутативну групу щодо складання, а з аксіом I, III - то, що всі відмінні від 0 елементи П. утворюють комутативну групу щодо множення.

Може виявитися, що в П. дорівнює нулю ціле кратне na якого-небудь відмінного від нуля елементу а. У цьому випадку існує таке просте число р, що р-кратне pa будь-якого елементу а цього П. дорівнює нулю. Кажуть, що в цьому випадку характеристика П. дорівнює р (приклад 6). Якщо na & sup1; 0 ні для яких відмінних від нуля n і а, то вважають характеристику П. рівної нулю (приклади 1-5).

Якщо частина F елементів поля G сама утворює П. відносно тих же операцій додавання і множення, то F називається підполем поля G, а G - надполем, або розширенням поля F. П., що не має підполів, називається простим. Всі прості П. вичерпуються П. прикладів 1 і 6 (при всіляких виборах простого числа р). В кожному П. міститься єдине просте підполе (П. прикладів 2-5 містять П. раціональних чисел). Природно було б поставити таке завдання: вирушаючи від простого П., Отримати опис всіх П., вивчивши структуру розширень; приводиться нижче теорема Штейніца робить крок саме в цьому напрямку.

Деякі розширення мають порівняно просту будову. Це - а) прості трансцендентні розширення, які зводяться до того, що за поле G береться П. всіх раціональних функцій від одного змінного з коефіцієнтами з F, і б) прості алгебраїчні розширення (приклад 5), які виходять, якщо сукупність G всіх многочленів ступеня n складати і множити по модулю даного приводиться над F многочлена f (x) ступеня n (конструкція, аналогічна прикладу 6). Розширення другого типу зводяться до того, що ми додаємо до F корінь многочлена f (x) і все ті елементи, які можна виразити через цей корінь і елементи F; кожен елемент надполя G є коренем деякого многочлена з коефіцієнтами з F. Розширення, що володіють останнім властивістю, називається алгеброю. Будь-яке розширення можна виконати в два прийоми: спочатку зробити трансцендентне розширення (утворивши П. раціональних функцій, не обов'язково від однієї змінної), а потім алгебраїчне (теорема Штейніца). Алгебраїчних розширень не мають тільки такі П., в яких кожен многочлен розкладається на лінійні множники. Такі П. називаються алгебраїчно замкнутими. П. комплексних чисел є алгебраїчно замкнутим (алгебри основна теорема). Будь-яке П. можна включити в якості підполя в алгебра замкнуте.

Деякі П. спеціального виду піддалися більш детального вивчення. У теорії чисел алгебри розглядаються головним чином прості алгебраїчні розширення П. раціональних чисел. В теорії алгебраїчних функцій досліджуються прості алгебраїчні розширення П.раціональних функцій з комплексними коефіцієнтами; значна увага приділяється кінцевим розширенням П. раціональних функцій над довільним П. констант (т. е. з довільними коефіцієнтами). Кінцеві розширення П., особливо їх автоморфізм (див. Ізоморфізм), вивчаються в теорії Галуа (див. Галуа теорія); тут знаходять відповідь багато питань, що виникають при вирішенні алгебраїчних рівнянь. У багатьох питаннях алгебри, особливо в різних відділах теорії П., велику роль відіграють нормовані поля. У зв'язку з геометричними дослідженнями з'явилися і вивчалися впорядковані П.

Див. також Алгебра, алгебри число, Алгебраїчна функція, Кільце алгебра.


Літ. : Курош А. Г., Курс вищої алгебри, 10 вид. , М., 1971; Ван дер Варден Б. Л., Сучасна алгебра, пер. з нім. , [2 видавництва.], Ч. 1-2, М. - Л., 1947; Чеботарьов Н. Г., Теорія алгебраїчних функцій, М. - Л., 1948; його ж, Основи теорії Галуа. ч. 1-2, Л. - М., 1934-37; Вейль Г., Алгебраїчна теорія чисел, пров. з англ. , М., 1947.

Велика радянська енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія. 1969-1978.

Популярні Пости

Рекомендуємо, 2019

12. 2. 013. 4
Довідник ГОСТів

12. 2. 013. 4

ГОСТ 12. 2. 013. 4 {-2002 (МЕК 60745-2-4: 1983)} Машини ручні електричні. Додаткові вимоги безпеки і методи випробувань плоскошліфувальних і стрічково-шліфувальних машин. ОКС: 25. 140. 20 КГС: Г24 Інструмент для ручних робіт (слюсарний, столярний і ін.) натомість: ГОСТ 12. 2. 013. 4-95 (МЕК 745-2-4-83) / ГОСТ Р 50616-93 (МЕК 745-2-4-83) Дія: C 01.
Читати Далі
7250
Довідник ГОСТів

7250

ГОСТ 7250 {-60} Мітчики для дюймового різьблення. Допуски на різьблення. ОКС: 25. 100. 50 КГС: Г23 Інструмент для обробки різанням Натомість: ГОСТ 7250-54 Дія: З 01. 01. 61 Змінено: ІКС 3/81 Примітка: замінений в частині мітчиків: для метричної різьби - ГОСТ 16925-71, для трубного циліндричного різьблення - ГОСТ 19090-73; перевидання один тисяча дев'ятсот вісімдесят одна Текст документа: ГОСТ 7250 "Мітчики для дюймового різьблення.
Читати Далі
Мешеді-Місріан
Велика радянська енциклопедія

Мешеді-Місріан

Руїни середньовічного міста Дахістана на території Туркменської РСР, в 22 км до С. -З. від селища Мадай Кизил-Атрекского району. Збереглися: руїни порталу мечеті (початок 13 ст.), Два мінарети (+1102 і початку 13 ст.); в околицях - залишки іригаційних споруд. На північ від М. -М. - ряд середньовічних мавзолеїв і мечеть Шир-Кабір (або Шейх-Кевир; мабуть, 9-10 ст.
Читати Далі
Примусова ліцензія
Фінансовий словник

Примусова ліцензія

Примусова ліцензія Примусова ліцензія - дозвіл на використання запатентованих винаходів, що видається компетентними державними органами, з виплатою винагороди власнику патенту. Примусова ліцензія видається без дозволу власника патенту за рішенням судових органів чи іншого органу державного управління.
Читати Далі
28579. 3. 3
Довідник ГОСТів

28579. 3. 3

ГОСТ 28579. 3. 3 {-90} Матеріали електроізоляційні тверді слюдяні для нагрівального обладнання. Технічні умови. ОКС: 29. 035. 50 КГС: Е34 Електроізоляційні матеріали Дія: З 01. 01. 92 Примітка: відповідає МЕК 371-3-3-83 Текст документа : ГОСТ 28579. 3. 3 "Матеріали електроізоляційні тверді слюдяні для нагрівального обладнання.
Читати Далі
Переробка товарів під митним контролем
Фінансовий словник

Переробка товарів під митним контролем

Переробка товарів під митним контролем Переробка товарів під митним контролем - в РФ - митний режим, при якому іноземні товари використовуються у встановленому порядку на митній території без справляння митних зборів і податків, а також без застосування до товарів заходів економічної політики для переробки під митним контролем з наступним випуском для вільного обігу або приміщенням продуктів переробки під інший митний режим.
Читати Далі
25275
Довідник ГОСТів

25275

ГОСТ 25275 {-82} Система стандартів по вібрації. Прилади для вимірювання вібрації обертових машин. Загальні технічні вимоги. ОКС: 17. 160 КГС: П17 Прилади для виміру швидкостей, прискорень і вібрацій Дія: З 01. 07. 83 Текст документа: ГОСТ 25275 "Система стандартів з вібрації. Прилади для вимірювання вібрації обертових машин.
Читати Далі