Поле (алгебраїч.)

Поле алгебраїчне, важливе алгебраїчне поняття, часто використовується як в самій алгебрі, так і в ін. Відділах математики і що є предметом самостійного вивчення.

Над звичайними числами можна виробляти чотири арифметичних дії (основні - додавання і множення, і зворотні їм - віднімання і ділення). Цим же характеризуються і П. Полем називається всяка сукупність (або безліч) елементів, над якими можна виробляти дві дії - додавання і множення, що підкоряються звичайним законам (аксіомам) арифметики:

I. Додавання і множення комутативні і асоціативні, т. Е. A + b = b + a, ab = ba, a + (b + c) = (a + b) + c, a (bc) = (ab) c.

II. Існує елемент 0 (нуль), для якого завжди а + 0 = а; для кожного елемента а існує протилежний -а, і їх сума дорівнює нулю. Звідси випливає, що в П. здійсненна операція віднімання а - b.

III. Існує елемент е (одиниця), для якого завжди ае = а; для кожного відмінного від нуля елементу а існує зворотний a-1; їх добуток дорівнює одиниці. Звідси випливає можливість поділу на будь-яке не рівне нулю число а.

IV. Зв'язок між операціями додавання і множення дається дистрибутивним законом: a (b + c) = ab + ac.

Наведемо кілька прикладів П.:

1) Сукупність Р всіх раціональних чисел.

2) Сукупність R всіх дійсних чисел.

3) Сукупність До всіх комплексних чисел.

4)

Безліч всіх раціональних функцій від одного або від декількох змінних, наприклад з дійсними коефіцієнтами.

5)

Безліч всіх чисел виду а + b, де а і b - раціональні числа.

6) Вибравши просте число р, розіб'ємо цілі числа на класи, об'єднавши в один клас всі числа, що дають при діленні на р один і той же залишок. Візьмемо в двох класах по представнику і складемо їх; той клас, в який потрапить ця сума, назвемо сумою обраних класів. Аналогічно визначається твір. При такому визначенні складання і множення всі класи утворюють П.; воно складається з р елементів.

З аксіом I, II слід, що елементи П. утворюють комутативну групу щодо складання, а з аксіом I, III - то, що всі відмінні від 0 елементи П. утворюють комутативну групу щодо множення.

Може виявитися, що в П. дорівнює нулю ціле кратне na якого-небудь відмінного від нуля елементу а. У цьому випадку існує таке просте число р, що р-кратне pa будь-якого елементу а цього П. дорівнює нулю. Кажуть, що в цьому випадку характеристика П. дорівнює р (приклад 6). Якщо na & sup1; 0 ні для яких відмінних від нуля n і а, то вважають характеристику П. рівної нулю (приклади 1-5).

Якщо частина F елементів поля G сама утворює П. відносно тих же операцій додавання і множення, то F називається підполем поля G, а G - надполем, або розширенням поля F. П., що не має підполів, називається простим. Всі прості П. вичерпуються П. прикладів 1 і 6 (при всіляких виборах простого числа р). В кожному П. міститься єдине просте підполе (П. прикладів 2-5 містять П. раціональних чисел). Природно було б поставити таке завдання: вирушаючи від простого П., Отримати опис всіх П., вивчивши структуру розширень; приводиться нижче теорема Штейніца робить крок саме в цьому напрямку.

Деякі розширення мають порівняно просту будову. Це - а) прості трансцендентні розширення, які зводяться до того, що за поле G береться П. всіх раціональних функцій від одного змінного з коефіцієнтами з F, і б) прості алгебраїчні розширення (приклад 5), які виходять, якщо сукупність G всіх многочленів ступеня n складати і множити по модулю даного приводиться над F многочлена f (x) ступеня n (конструкція, аналогічна прикладу 6). Розширення другого типу зводяться до того, що ми додаємо до F корінь многочлена f (x) і все ті елементи, які можна виразити через цей корінь і елементи F; кожен елемент надполя G є коренем деякого многочлена з коефіцієнтами з F. Розширення, що володіють останнім властивістю, називається алгеброю. Будь-яке розширення можна виконати в два прийоми: спочатку зробити трансцендентне розширення (утворивши П. раціональних функцій, не обов'язково від однієї змінної), а потім алгебраїчне (теорема Штейніца). Алгебраїчних розширень не мають тільки такі П., в яких кожен многочлен розкладається на лінійні множники. Такі П. називаються алгебраїчно замкнутими. П. комплексних чисел є алгебраїчно замкнутим (алгебри основна теорема). Будь-яке П. можна включити в якості підполя в алгебра замкнуте.

Деякі П. спеціального виду піддалися більш детального вивчення. У теорії чисел алгебри розглядаються головним чином прості алгебраїчні розширення П. раціональних чисел. В теорії алгебраїчних функцій досліджуються прості алгебраїчні розширення П.раціональних функцій з комплексними коефіцієнтами; значна увага приділяється кінцевим розширенням П. раціональних функцій над довільним П. констант (т. е. з довільними коефіцієнтами). Кінцеві розширення П., особливо їх автоморфізм (див. Ізоморфізм), вивчаються в теорії Галуа (див. Галуа теорія); тут знаходять відповідь багато питань, що виникають при вирішенні алгебраїчних рівнянь. У багатьох питаннях алгебри, особливо в різних відділах теорії П., велику роль відіграють нормовані поля. У зв'язку з геометричними дослідженнями з'явилися і вивчалися впорядковані П.

Див. також Алгебра, алгебри число, Алгебраїчна функція, Кільце алгебра.


Літ. : Курош А. Г., Курс вищої алгебри, 10 вид. , М., 1971; Ван дер Варден Б. Л., Сучасна алгебра, пер. з нім. , [2 видавництва.], Ч. 1-2, М. - Л., 1947; Чеботарьов Н. Г., Теорія алгебраїчних функцій, М. - Л., 1948; його ж, Основи теорії Галуа. ч. 1-2, Л. - М., 1934-37; Вейль Г., Алгебраїчна теорія чисел, пров. з англ. , М., 1947.

Велика радянська енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія. 1969-1978.

Популярні Пости

Рекомендуємо, 2018

Петриков
Велика радянська енциклопедія

Петриков

Місто, центр Петриківського району Гомельської області БССР, пристань на р. Прип'ять, в 12 км від ж. -д. станції мулярівка (на лінії Гомель - Брест), в 190 км до Ю. -З. від Гомеля. Комбінат будматеріалів; заводи цегельний, сухого і знежиреного молока, хлібозавод. Велика радянська енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія.
Читати Далі
Нематодози
Велика радянська енциклопедія

Нематодози

Хвороби людини, тварин і рослин, що викликаються нематодами (Див. Нематоди). Паразити локалізуються в більшості тканин і органів людини (шлунково-кишковий тракт, м'язи, органи дихання, печінку, нирки і т. Д.). Н. поділяються на дві групи - геонематодози і біонематодози. Збудники перших розвиваються у зовнішньому середовищі (грунті, воді, на предметах домашнього вжитку); розвиток збудників біонематодозов пов'язано зі зміною господарів.
Читати Далі
Петровський Петро Григорович
Велика радянська енциклопедія

Петровський Петро Григорович

Петровський Петро Григорович [1 (13). 10. 1899-11. 9. тисяча дев'ятсот сорок один], радянський партійний і комсомольський діяч. Член Комуністичної партії з 1916. Син Г. І. Петровського. Народився в Катеринославі. У 1917 секретар Виборзького райкому РСДРП (б) в Петрограді, брав участь у штурмі Зимового палацу.
Читати Далі
Мисливські собаки
Велика радянська енциклопедія

Мисливські собаки

Група спеціалізованих порід собак, призначених для полювання (Див. Полювання). Застосування домашніх собак на полюванні засноване на використанні інстинкту хижака, властивого всім собачим. В процесі багатовікового застосування собак на полюванні в різних географічних зонах, що супроводжувався природним, а потім штучним відбором і спеціальної дресируванням, сформувалися численні породи О.
Читати Далі
Пневмоніка
Велика радянська енциклопедія

Пневмоніка

Струменевий пневмоавтоматика, галузь пневмоавтоматики ( див. Пневмоавтоматика) , пов'язана з вивченням, розробкою та застосуванням пристроїв (елементів), дія яких заснована на використанні аерогідродинамічний ефектів - на взаємодії струменів, відриві потоку від стінки, турбулізації течії ламінарної струмені, дроселювання потоків, вихреобразование.
Читати Далі
Начікі
Велика радянська енциклопедія

Начікі

Бальнеологічний курорт в Камчатської області РРФСР, в 105 км від Петропавловська-Камчатського. Літо помірно прохолодне (середня температура липня 12 ° С), зима холодна (середня температура січня -19 ° С); опадів 780 мм в рік. Лікувальні засоби: мінеральне джерело, вода якого з хімічним складом використовується для ванн.
Читати Далі
Заперечення (у граматиці)
Велика радянська енциклопедія

Заперечення (у граматиці)

Заперечення в граматиці, слово або афікс, що вказують на відсутність предмета (" у мене немає книги "), якісних ознак предмета ( "ця людина не стар"), дій чи станів ( "я не пишу", "я не сплю"), а також слово-пропозиція, що виражає незгоду з висловлюваннями ( "немає!"). У різних мовах О. може виражатися різними засобами: окремими словами ≈ російськими "немає", "не"; німецькими nein, nicht; англійськими no, not; французькими non, ne .
Читати Далі
Механічний запис
Велика радянська енциклопедія

Механічний запис

Звуку, система запису звуку за допомогою зміни форми носія при механічному впливі на нього. М. з. є першою практичною системою звукозапису. Ще на початку 19 ст. при дослідженні звукових сигналів фізики стали записувати коливання деяких джерел звуку. Ці записи призначалися тільки для візуального вивчення і не могли бути відтворені.
Читати Далі