Безперервна дріб

ланцюговий дріб, один з найважливіших способів представлення чисел і функцій. Н. д. Є вираз виду

де a 0 - будь-яке ціле число, a 1 , a 2 , ..., a n , ... - натуральні числа, звані неповними приватними, або елементами, даною Н. д. до Н. д., що зображає деяке число α, можна прийти, записуючи це число в вигляді

де a 0 - ціле число і 0 <1 / α 1 <1, потім, записуючи в такому ж вигляді α 1 і т. д. Число елементів Н. д. може бути кінцевим або нескінченним; в залежності від цього Н. д. називають кінцевою або нескінченною. Н. д. (1) часто символічно позначають так: [ а 0 ; a 1 , a 2 , ..., a n , ... ] (нескінченна Н. д.) (2) або [ а 0 ; а 1 , a 2 , ..., a n ] (кінцева Н. д.). (3) Кінцева Н. д. Завжди є раціональне число; назад, кожне раціональне число може бути представлено у вигляді кінцевої Н. д. (3); таке уявлення єдино, якщо зажадати, щоб a n ≠ 1. Н. д. [ а 0 ; a 1 , a 2 , ..., a k ] ( k n ), записану у вигляді нескоротного дробу p k / q k , називають відповідним дробом порядку k даної Н. д. (2). Чисельники і знаменники відповідних дробів пов'язані рекурентними формулами: p k +1 = a k +1 p k + p k -1 , q k +1 = a k +1 q < k + q k -1 , які служать підставою всієї теорії Н.д. З цих формул безпосередньо витікає важливе співвідношення p k q k -1 - q k p k - 1 = ± 1. Для кожної безконечною Н. д. існує межа званий значенням даної Н. д. Кожне ірраціональне число є значенням єдиної безконечною Н. д., одержуваної розкладанням α зазначеним вище чином, наприклад (

е - 1) / 2 = [0, 1, 6, 10, 14, 18, ...]; квадратичні ірраціональності розкладаються в періодичні Н. д. Основне значення Н. д. Для додатків полягає в тому, що відповідні дроби є найкращими наближеннями числа α, тобто, що для будь-якої іншої дробу

m / < n, знаменник якої не більше g k має місце нерівність | n α - m | > | g k α - p k l; при цьому | q k . - p k | <1 / q k + 1 . Непарні відповідні дроби більше α, а парні - менше. При зростанні k непарні відповідні дроби убувають, а парні зростають. Н. д. Використовуються для наближення ірраціональних чисел раціональними. Наприклад, відомі наближення 22 / 7 , 355 / 113 для числа π (відношення довжини кола до діаметру) суть відповідні дроби для розкладання π в Н. д. Слід зазначити, що перший доказ ірраціональності чисел е і π було дано в 1766 німецьким математиком І. Ламбертом за допомогою Н. д. Французький математик Ж. Лиувилль довів: для будь-якого алгебраїчного числа ( див. алгебри число) α ступеня n можна знайти таку постійну λ, що для будь-якої дробу x / y виконується нерівність | α - x > / y | > Λ / у n . За допомогою Н. д. Можна побудувати числа α такі, що різниця | α - p k / q k | робиться менше α / g k , яку б постійну λ ми не взяли.Так, використовуючи Н. д., Можна будувати трансцендентні числа. Недоліком Н. д. Є надзвичайна складність арифметичних дій над ними, рівносильна практичній неможливості цих дій; наприклад, знаючи елементи двох дробів, ми не можемо скільки-небудь просто отримати елементи їх суми або твори. Н. д. Зустрічаються вже в 16 ст. у Р. Бомбелли. У 17 ст. Н. д. Вивчав Дж. Валліс; ряд важливих властивостей Н. д. відкрив Х. Гюйгенс, який вони займали в зв'язку з теорією зубчастих коліс. Доклав зусиль для теорії Н. д. Л. Ейлер в 18 ст. У 19 ст. П. Л. Чебишев, А. А. Марков і ін. Застосували Н. д., Елементами яких є многочлени, до вивчення ортогональних многочленів (Див. Ортогональні многочлени). Літ. : Чебишев П. Л., Повне зібрання творів, 2 видавництва. , Т. 1, М. - Л., 1946; Хинчин А. Я., Ланцюгові дроби, 2 видавництва. , М. - Л., 1949; Ейлер Л., Введення в аналіз нескінченно малих, пров. з лат. , Т. 1, М. - Л., 1936; Стилт'єсу Т. І., Дослідження про безперервних дробах, пров. з франц. , Хар. - К., 1936; Perron О., Die Lehre von den Kettenbrüchen, 2 Aufl. , Lpz. - B., 1929; Wall Н. S., Analytic theory of continued fractions, Toronto - N. Y. - L., 1948. Велика радянська енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія. 1969-1978.

Популярні Пости

Рекомендуємо, 2018

Відносна вологість
Велика радянська енциклопедія

Відносна вологість

( R ) відношення пружності е водяної пари, що міститься в повітрі, до пружності насичення Е при даній температурі ( виражається в%). Див. Також Вологість повітря. Велика радянська енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія. 1969-1978.
Читати Далі
Музи
Велика радянська енциклопедія

Музи

У давньогрецькій міфології дочки Зевса і Мнемосіни, богині - покровительки різних областей духовній діяльності людей: поезії, мистецтва і наук. Вважалося, що М. надихають поетів і художників; звідси часті звернення до М. на початку творів античної поезії. Культовими центрами шанування М. служили Пієрія у гори Олімп, гора Гелікон з джерелом Гіппокрену і Дельфи (біля підніжжя Парнасу) з Кастальского джерела; зв'язок з джерелами вказує, що спочатку М.
Читати Далі
Меньков Петро Кононович
Велика радянська енциклопедія

Меньков Петро Кононович

Меньков Петро Кононович [2 (14). 6. 1814 Кашин, нині Калінінської обл. , - 9 (21). 10. 1875, Петербург], російський військовий діяч і письменник, генерал-лейтенант (1867). Закінчив 1-й кадетський корпус (1833) і був випущений прапорщиком в артилерію. Після закінчення Академії Генерального штабу (1840) служив в Головному штабі; учасник придушення революції в Угорщині (1849) і Кримської війни 1853-56.
Читати Далі
Пергамент
Велика радянська енциклопедія

Пергамент

(Нім. Pergament, від грец. Pérgamos - Пергам, місто в Малій Азії, де у 2 ст. До н. Е. Широко застосовувався П.) вид недублёной шкіри, що представляє собою золёное або знезолений і висушене голину. Волокна в П. склеєні в безструктурну рогообразную масу, часто прозору. П. володіє відносно великою міцністю на розрив (100-120 Мн / м 2 , або 10-12 кгс / мм 2 ), в сильно натягнутому стані при ударі дерев'яним предметом видає чистий звук.
Читати Далі
Мішель Ней
Велика радянська енциклопедія

Мішель Ней

Ней (Ney) Мішель (10. 1. 1769 Саар-луї, - 7. 12. 1815, Париж), маршал Франції (1804), герцог Ельхінгенскій (1808), князь Московський (1812). Син бондаря. З 1788 служив в кавалерії, висунувся в 1794-95 під час революційних воєн; з 1796 бригадний, з 1799 дивізійний генерал. Брав участь у всіх наполеонівських війнах.
Читати Далі
Жовтневі бої 1934
Велика радянська енциклопедія

Жовтневі бої 1934

В Іспанії, революційний виступ іспанського пролетаріату і ін. Антифашистських, демократичних сил у відповідь на включення в уряд 4 жовтня трьох членів право-клерикальної Іспанської конфедерації автономних правих (СЕДА). 4 жовтня Соціалістична партія опублікувала заклик до загального політичного страйку і збройного повстання.
Читати Далі
Нервова регуляція
Велика радянська енциклопедія

Нервова регуляція

Координуючий вплив нервової системи (НС) на клітини, тканини і органи, що приводить їх діяльність у відповідність до потреб організму і змінами навколишнього середовища; один з основних механізмів саморегуляції (Див. Саморегуляція) функцій. Багатоклітинний організм в своїх життєвих проявах (зростання, розвиток, реакції на зовнішні впливи і т.
Читати Далі
Піко делла Мірандола Джованні
Велика радянська енциклопедія

Піко делла Мірандола Джованні

Піко делла Мірандола (Pico della Mirandola) Джованні (24. 2. 1463, Мірандола, поблизу Модени, - 17. 11. 1 494, близько Флоренції), італійський мислитель епохи Відродження. Навчався в університетах Болоньї, Феррари, Падуї, де освоїв схоластичну традицію аристотелизма і аверроизма, разом з тим сприйняв культуру філологічного гуманізму.
Читати Далі