Безперервна дріб

ланцюговий дріб, один з найважливіших способів представлення чисел і функцій. Н. д. Є вираз виду

де a 0 - будь-яке ціле число, a 1 , a 2 , ..., a n , ... - натуральні числа, звані неповними приватними, або елементами, даною Н. д. до Н. д., що зображає деяке число α, можна прийти, записуючи це число в вигляді

де a 0 - ціле число і 0 <1 / α 1 <1, потім, записуючи в такому ж вигляді α 1 і т. д. Число елементів Н. д. може бути кінцевим або нескінченним; в залежності від цього Н. д. називають кінцевою або нескінченною. Н. д. (1) часто символічно позначають так: [ а 0 ; a 1 , a 2 , ..., a n , ... ] (нескінченна Н. д.) (2) або [ а 0 ; а 1 , a 2 , ..., a n ] (кінцева Н. д.). (3) Кінцева Н. д. Завжди є раціональне число; назад, кожне раціональне число може бути представлено у вигляді кінцевої Н. д. (3); таке уявлення єдино, якщо зажадати, щоб a n ≠ 1. Н. д. [ а 0 ; a 1 , a 2 , ..., a k ] ( k n ), записану у вигляді нескоротного дробу p k / q k , називають відповідним дробом порядку k даної Н. д. (2). Чисельники і знаменники відповідних дробів пов'язані рекурентними формулами: p k +1 = a k +1 p k + p k -1 , q k +1 = a k +1 q < k + q k -1 , які служать підставою всієї теорії Н.д. З цих формул безпосередньо витікає важливе співвідношення p k q k -1 - q k p k - 1 = ± 1. Для кожної безконечною Н. д. існує межа званий значенням даної Н. д. Кожне ірраціональне число є значенням єдиної безконечною Н. д., одержуваної розкладанням α зазначеним вище чином, наприклад (

е - 1) / 2 = [0, 1, 6, 10, 14, 18, ...]; квадратичні ірраціональності розкладаються в періодичні Н. д. Основне значення Н. д. Для додатків полягає в тому, що відповідні дроби є найкращими наближеннями числа α, тобто, що для будь-якої іншої дробу

m / < n, знаменник якої не більше g k має місце нерівність | n α - m | > | g k α - p k l; при цьому | q k . - p k | <1 / q k + 1 . Непарні відповідні дроби більше α, а парні - менше. При зростанні k непарні відповідні дроби убувають, а парні зростають. Н. д. Використовуються для наближення ірраціональних чисел раціональними. Наприклад, відомі наближення 22 / 7 , 355 / 113 для числа π (відношення довжини кола до діаметру) суть відповідні дроби для розкладання π в Н. д. Слід зазначити, що перший доказ ірраціональності чисел е і π було дано в 1766 німецьким математиком І. Ламбертом за допомогою Н. д. Французький математик Ж. Лиувилль довів: для будь-якого алгебраїчного числа ( див. алгебри число) α ступеня n можна знайти таку постійну λ, що для будь-якої дробу x / y виконується нерівність | α - x > / y | > Λ / у n . За допомогою Н. д. Можна побудувати числа α такі, що різниця | α - p k / q k | робиться менше α / g k , яку б постійну λ ми не взяли.Так, використовуючи Н. д., Можна будувати трансцендентні числа. Недоліком Н. д. Є надзвичайна складність арифметичних дій над ними, рівносильна практичній неможливості цих дій; наприклад, знаючи елементи двох дробів, ми не можемо скільки-небудь просто отримати елементи їх суми або твори. Н. д. Зустрічаються вже в 16 ст. у Р. Бомбелли. У 17 ст. Н. д. Вивчав Дж. Валліс; ряд важливих властивостей Н. д. відкрив Х. Гюйгенс, який вони займали в зв'язку з теорією зубчастих коліс. Доклав зусиль для теорії Н. д. Л. Ейлер в 18 ст. У 19 ст. П. Л. Чебишев, А. А. Марков і ін. Застосували Н. д., Елементами яких є многочлени, до вивчення ортогональних многочленів (Див. Ортогональні многочлени). Літ. : Чебишев П. Л., Повне зібрання творів, 2 видавництва. , Т. 1, М. - Л., 1946; Хинчин А. Я., Ланцюгові дроби, 2 видавництва. , М. - Л., 1949; Ейлер Л., Введення в аналіз нескінченно малих, пров. з лат. , Т. 1, М. - Л., 1936; Стилт'єсу Т. І., Дослідження про безперервних дробах, пров. з франц. , Хар. - К., 1936; Perron О., Die Lehre von den Kettenbrüchen, 2 Aufl. , Lpz. - B., 1929; Wall Н. S., Analytic theory of continued fractions, Toronto - N. Y. - L., 1948. Велика радянська енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія. 1969-1978.

Популярні Пости

Рекомендуємо, 2018

Пакетна обробка даних
Фінансовий словник

Пакетна обробка даних

Пакетна обробка даних Пакетна обробка даних - організація виконання декількох програм в певній послідовності за допомогою команд операційної системи. Пакетна обробка організовується за допомогою пакетних файлів. Див. також: Обробка даних Фінансовий словник Фінам. .
Читати Далі
Новосибірський театр Червоний факел
Велика радянська енциклопедія

Новосибірський театр Червоний факел

(Новосибірський театр "Червоний факел") один з найбільших драматичних театрів Сибіру. Організовано в 1920 в Одесі як молодіжний театр (в 1920-24 керівник В. К. Татищев). Багато гастролював по країні. З 1932 працює в Новосибірську. У 30-40-і рр. основою репертуару театру стала радянська драматургія: "Любов Ярова" Треньова (1932), "Мій друг" (1933), "Після балу", "Аристократи" (обидва в 1935) Погодіна, "Платон Кречет" Корнійчука (1935).
Читати Далі
Пепеляєв
Велика радянська енциклопедія

Пепеляєв

Анатолій Миколайович [3 (15). 8. 1891, Томськ, 14. 1. 1938], контрреволюційний діяч в Сибіру, ​​генерал-лейтенант (1919). Народився в сім'ї офіцера. Закінчив Павлівське військове училище (1910). Під час 1-ої світової війни 1914-18 командував батальйоном; підполковник. У травні 1918 очолив контрреволюційний заколот в Томську, підтриманий білочехами.
Читати Далі
16106
Довідник ГОСТів

16106

ГОСТ 16106 {-82} Нафталін коксохімічний. Технічні умови. ОКС: 71. 080. 10 КГС: Л32 Коксохімічні продукти Натомість: ГОСТ 16106-70 Дія: З 01. 07. 83 Змінено: ІКС 4/88, 10/90 Текст документа: ГОСТ 16106 "Нафталін коксохімічний. Технічні умови. " Довідник ГОСТів. 2009.
Читати Далі
51615
Довідник ГОСТів

51615

ГОСТ Р 51615 {- 2000} речовини вибухові промислові. Упаковка, маркування, транспортування і зберігання. ОКС: 71. 100. 30 КГС: Л72 Бризантні вибухові речовини Дія: З 01. 07. 2001 Змінено: ІКС 6/2005 Текст документа: ГОСТ Р 51615 "Речовини вибухові промислові. Упаковка, маркування, транспортування і зберігання.
Читати Далі
Каффір
Фінансовий словник

Каффір

Каффір (kaffirs) Прийняте на Лондонській фондовій біржі неофіційну назву акцій золотодобувних компаній Південної Африки. Фінанси. Тлумачний словник. 2-е изд. - М.: "ИНФРА-М", Видавництво "Всесвіт". Брайен Батлер, Брайен Джонсон, Грем Сідуел і ін. Загальна редакція: д. Е. н. Осадча І. М.. 2000. .
Читати Далі
Новіков Вадим
Фінансовий словник

Новіков Вадим

Новіков Вадим Старший науковий співробітник Академії народного господарства при Уряді РФ Народився в 1980 році. Освіта - магістр економіки (ГУ-ВШЕ, 2003 рік). До Академії народного господарства працював в Робочому центрі економічних реформ при Уряді РФ і Російсько-європейському центрі економічної політики.
Читати Далі