Безперервна дріб

ланцюговий дріб, один з найважливіших способів представлення чисел і функцій. Н. д. Є вираз виду

де a 0 - будь-яке ціле число, a 1 , a 2 , ..., a n , ... - натуральні числа, звані неповними приватними, або елементами, даною Н. д. до Н. д., що зображає деяке число α, можна прийти, записуючи це число в вигляді

де a 0 - ціле число і 0 <1 / α 1 <1, потім, записуючи в такому ж вигляді α 1 і т. д. Число елементів Н. д. може бути кінцевим або нескінченним; в залежності від цього Н. д. називають кінцевою або нескінченною. Н. д. (1) часто символічно позначають так: [ а 0 ; a 1 , a 2 , ..., a n , ... ] (нескінченна Н. д.) (2) або [ а 0 ; а 1 , a 2 , ..., a n ] (кінцева Н. д.). (3) Кінцева Н. д. Завжди є раціональне число; назад, кожне раціональне число може бути представлено у вигляді кінцевої Н. д. (3); таке уявлення єдино, якщо зажадати, щоб a n ≠ 1. Н. д. [ а 0 ; a 1 , a 2 , ..., a k ] ( k n ), записану у вигляді нескоротного дробу p k / q k , називають відповідним дробом порядку k даної Н. д. (2). Чисельники і знаменники відповідних дробів пов'язані рекурентними формулами: p k +1 = a k +1 p k + p k -1 , q k +1 = a k +1 q < k + q k -1 , які служать підставою всієї теорії Н.д. З цих формул безпосередньо витікає важливе співвідношення p k q k -1 - q k p k - 1 = ± 1. Для кожної безконечною Н. д. існує межа званий значенням даної Н. д. Кожне ірраціональне число є значенням єдиної безконечною Н. д., одержуваної розкладанням α зазначеним вище чином, наприклад (

е - 1) / 2 = [0, 1, 6, 10, 14, 18, ...]; квадратичні ірраціональності розкладаються в періодичні Н. д. Основне значення Н. д. Для додатків полягає в тому, що відповідні дроби є найкращими наближеннями числа α, тобто, що для будь-якої іншої дробу

m / < n, знаменник якої не більше g k має місце нерівність | n α - m | > | g k α - p k l; при цьому | q k . - p k | <1 / q k + 1 . Непарні відповідні дроби більше α, а парні - менше. При зростанні k непарні відповідні дроби убувають, а парні зростають. Н. д. Використовуються для наближення ірраціональних чисел раціональними. Наприклад, відомі наближення 22 / 7 , 355 / 113 для числа π (відношення довжини кола до діаметру) суть відповідні дроби для розкладання π в Н. д. Слід зазначити, що перший доказ ірраціональності чисел е і π було дано в 1766 німецьким математиком І. Ламбертом за допомогою Н. д. Французький математик Ж. Лиувилль довів: для будь-якого алгебраїчного числа ( див. алгебри число) α ступеня n можна знайти таку постійну λ, що для будь-якої дробу x / y виконується нерівність | α - x > / y | > Λ / у n . За допомогою Н. д. Можна побудувати числа α такі, що різниця | α - p k / q k | робиться менше α / g k , яку б постійну λ ми не взяли.Так, використовуючи Н. д., Можна будувати трансцендентні числа. Недоліком Н. д. Є надзвичайна складність арифметичних дій над ними, рівносильна практичній неможливості цих дій; наприклад, знаючи елементи двох дробів, ми не можемо скільки-небудь просто отримати елементи їх суми або твори. Н. д. Зустрічаються вже в 16 ст. у Р. Бомбелли. У 17 ст. Н. д. Вивчав Дж. Валліс; ряд важливих властивостей Н. д. відкрив Х. Гюйгенс, який вони займали в зв'язку з теорією зубчастих коліс. Доклав зусиль для теорії Н. д. Л. Ейлер в 18 ст. У 19 ст. П. Л. Чебишев, А. А. Марков і ін. Застосували Н. д., Елементами яких є многочлени, до вивчення ортогональних многочленів (Див. Ортогональні многочлени). Літ. : Чебишев П. Л., Повне зібрання творів, 2 видавництва. , Т. 1, М. - Л., 1946; Хинчин А. Я., Ланцюгові дроби, 2 видавництва. , М. - Л., 1949; Ейлер Л., Введення в аналіз нескінченно малих, пров. з лат. , Т. 1, М. - Л., 1936; Стилт'єсу Т. І., Дослідження про безперервних дробах, пров. з франц. , Хар. - К., 1936; Perron О., Die Lehre von den Kettenbrüchen, 2 Aufl. , Lpz. - B., 1929; Wall Н. S., Analytic theory of continued fractions, Toronto - N. Y. - L., 1948. Велика радянська енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія. 1969-1978.

Популярні Пости

Рекомендуємо, 2018

Моногляціалізм
Велика радянська енциклопедія

Моногляціалізм

(Від Моно ... і лат. Glacies - лід) гіпотеза про однократності заледеніння Європи, Азії та Північної Америки в антропогеновом періоді, протиставляється Полігляціалізму. Див. Антропогеновая система (період). Велика радянська енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія. 1969-1978.
Читати Далі
Постніков Володимир Юхимович
Велика радянська енциклопедія

Постніков Володимир Юхимович

Постніков Володимир Юхимович (1844-1908), російський економіст-статистик. Навчався в Петровській землеробській академії в Москві. Служив в міністерстві землеробства і державного майна по влаштуванню казенних земель. Член Вільного економічного суспільства. Найбільш значні праці П.: "Південно-російське селянське господарство" (1891), "З господарського життя Самарського краю" (1894).
Читати Далі
Мочутковского Осип Осипович
Велика радянська енциклопедія

Мочутковского Осип Осипович

Мочутковского Осип Осипович [1845 Херсонська губернія, ≈ 23. 5 (5. 6). 1903 році, Петербург], російський лікар. У 1869 закінчив медичний факультет Київського університету. З 1893 професор, завідувач кафедрою невропатології в Петербурзькому клінічному інституті для удосконалення лікарів. У 1876 поряд з Г.
Читати Далі
Пальміра (рослина сем-ва пальм)
Велика радянська енциклопедія

Пальміра (рослина сем-ва пальм)

Пальміра, пальміровая пальма (Borassus flabellifer), рослина сімейства пальм, висотою до 18-20 м (іноді до 30 м). Листя віялові. Батьківщина - тропічна Азія. П. здавна культивують головним чином в Південній Індії і на острові Шрі-Ланка (Цейлон). З соку суцвіть П. отримують цукор, вино "тодди", спирт, оцет.
Читати Далі
Національний музей сучасного мистецтва
Велика радянська енциклопедія

Національний музей сучасного мистецтва

(Musée National d'Art Moderne) в Парижі, одне з найбільших зібрань західноєвропейського і американського образотворчого мистецтва 20 в. Відкрито в 1947. у музеї особливо широко експонуються фовізм (А. Матісс, Р. Дюфи), кубізм (П. Пікассо, Ж. Брак), сюрреалізм (С. Далі), абстракціонізм ( живопис В. В.
Читати Далі
Мідуей
Велика радянська енциклопедія

Мідуей

(Midway) кораловий атол в Тихому океані, в північно-західній групі Гавайських островів. Виник на базальтовому підставі зруйнованого вулкана. В лагуні атолу - кілька дрібних островів; два найбільших - Сенд (Піщаний) і Істерн (Східний) - мають площу 5, 2 км 2 . Населення 2, 0 тис. Чоловік (1968). М. - проміжна база на повітряному шляху між США і країнами Азії.
Читати Далі
Перловіци
Велика радянська енциклопедія

Перловіци

(Unio) рід прісноводних двостулкових молюсків (Див. Двостулкові молюски). Стулки раковини витягнуті або овальні (довжина до 13, 7 см ), забезпечені замком з коротких передніх (по 2) і довгих задніх (1 на правій і 2 на лівій стулці) зубів. П. живуть в річках і прибережній зоні озер. Харчуються зваженими у воді органічними речовинами.
Читати Далі