Площа (в геометрії)

Площа , одна з основних величин, пов'язаних з геометричними фігурами. У найпростіших випадках вимірюється числом заповнюють плоску фігуру одиничних квадратів, т. Е. Квадратів зі стороною, що дорівнює одиниці довжини.

Обчислення П. було вже в давнину одним з найважливіших завдань практичної геометрії (розбивка земельних ділянок). За кілька століть до нашої ери грецькі вчені мали точними правилами обчислення П., які в "Засадах" Евкліда вдягнулися у форму теорем. При цьому П. багатокутників визначалися тими ж прийомами розкладання і доповнення фігур, які збереглися в шкільному викладанні. Для обчислення П. фігур з криволінійним контуром застосовувався граничний перехід в формі вичерпання методу.

Теорія П. плоских фігур, обмежених простими (т. Е. Не пересікають себе) контурами, може бути побудована наступним чином. Розглядаються всілякі багатокутники, вписані в фігуру F, і всілякі багатокутники, описані навколо фігури F. (Обчислення П. багатокутника зводиться до обчислення П. рівновеликого йому квадрата, який може бути отриманий за допомогою належних прямолінійних розрізів і перекладання отриманих частин.) Нехай {Si} - числове безліч П. вписаних у фігуру багатокутників, a {Sd} - числове безліч П.описаних навколо фігури багатокутників. Безліч {Si} обмежена зверху (площею будь-якого описаного багатокутника), а безліч {Sd} обмежена знизу (наприклад, числом нуль). Найменше з чисел, що обмежує зверху безліч {Si}, називається нижньою площею фігури F, а найбільше з чисел, що обмежує знизу безліч {Sd}, називається верхньою площею фігури F. Якщо верхня П. фігури збігається з її нижньої П., то число S =

називається площею фігури, а сама постать - квадрованою фігурою. Для того щоб плоска фігура була квадрованою, необхідно і достатньо, щоб для будь-якого позитивного числа e можна було вказати такий описаний навколо фігури багатокутник і такий вписаний в фігуру багатокутник, різниця Sd-Si площ яких була б менше e.

Аналітично П. плоскої фігури може бути обчислена за допомогою інтегралів. Нехай фігура F - т. Зв. криволинейная трапеція ( рис. 1 ) - обмежена графіком заданої на сегменті [a, b] безперервної і неотрицательной функції f (x), відрізками прямих х = а і х = b і відрізком осі Ox між точками (а , 0) і (b, 0). П. такої фігури може бути виражена інтегралом

.

П. фігури, обмеженої замкнутим контуром, який зустрічається з паралеллю до осі Оу не більше ніж в двох точках, то, можливо обчислена як різниця П. двох фігур, подібних криволінійної трапеції. П. фігури може бути виражена у вигляді подвійного інтеграла:

,

де інтегрування поширюється на частину площині, зайнятої фігурою.

Теорія П. фігур, розташованих на кривій поверхні, може бути визначена наступним чином. Нехай F - однозв'язна фігура на гладкій поверхні, обмежена кусочно гладким контуром. Фігура F розбивається кусочно гладкими кривими на кінцеве число частин Фi, кожна з яких однозначно проектується на дотичну площину, що проходить через точку Mi, що належить частини Фi, (рис.2). Межа сум площ цих проекцій (якщо він існує), взятих за всіма елементами розбиття, при умовах, що максимум діаметрів цих елементів прагне до нуля і що він не залежить від вибору точок Mi, називається площею фігури F. Фігура на поверхні, для якої цей межа існує, називається квадрованою. Квадрованою є кусочно гладкі обмежені повні двосторонні поверхні. П. всієї поверхні складається з П. складових її частин.

Аналітично П. фігури F на поверхні, заданої рівнянням z = f (x, у), де функція f однозначна і має безперервні приватні похідні, може бути виражена таким чином

.

Тут G - замкнута область, яка є проекцією фігури F на площину Оху, ds - елемент площі на поверхні.

Про узагальнення поняття П. див. Міра множин.


Літ. : Фихтенгольц Г. М., Курс диференціального й інтегрального числення, 7 видавництво. , Т. 2, М., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математичний аналіз, т. 1-2, М., 1970; Ільїн В. А., Позняк Е. Р., Основи математичного аналізу, 3 видавництва. , Ч. 1-2, М., 1971-73.

Велика радянська енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія. 1969-1978.

Популярні Пости

Рекомендуємо, 2019

Нейтралітет
Фінансовий словник

Нейтралітет

Нейтралітет Нейтралітет - політика держави, що не бере участі: - в війні і військових діях інших країн (у воєнний час); - в військових блоках (в мирний час). Розрізняють тимчасовий і постійний нейтралітет. По-англійськи: Neutrality Див. також: Державна політика Фінансовий словник Фінам. .
Читати Далі
Пєвцова спосіб
Велика радянська енциклопедія

Пєвцова спосіб

Спосіб визначення географічної широти зі спостережень двох зірок на рівних висотах, запропонований в 1887 М. В. Пєвцовим. Зірки вибираються так, щоб в моменти спостережень, при рівних висотах (зенітних відстанях), сума їх азимутів була б близька до 180 ° або 540 °, причому одна зірка повинна бути в південній стороні неба від зеніту, інша - в північній.
Читати Далі
Потреби економічні
Велика радянська енциклопедія

Потреби економічні

Частина наявних в суспільстві потреб (Див. Потреби) , для задоволення якої необхідне суспільне відтворення. Відносини власності, весь суспільно-економічний лад у вирішальній мірі визначають соціальні форми прояву і задоволення П. е. (Див. Споживання) . Виробництво формує загальні об'єктивні умови, в яких виникають і розвиваються П.
Читати Далі
Порай-Кошиць Олександр Євгенович
Велика радянська енциклопедія

Порай-Кошиць Олександр Євгенович

Порай-Кошиць Олександр Євгенович [26. 9 (8. 10). Тисячу вісімсот сімдесят сім, Казань, - 17. 4. 1949 Ленінград], радянський хімік-органік, академік АН СРСР (1935; член-кореспондент 1931). Закінчив в 1903 Петербурзький технологічний інститут. З 1905 до кінця життя викладав там же (з 1918 професор). З 1941 завідувач лабораторією проміжних продуктів і барвників інституту органічної хімії АН СРСР.
Читати Далі
РИНКИ ДРАКОНОВ
Фінансовий словник

РИНКИ ДРАКОНОВ

РИНКИ ДРАКОНОВ (dragon markets) Сукупна назва ринків, що формуються і економік в басейні Тихого океану, що включають Індонезію, Малайзію, Філіппіни і Таїланд. Всі ці країни характеризуються динамічним зростанням і високими показниками накопичення. Фінанси. Тлумачний словник. 2-е изд. - М.: "ИНФРА-М", Видавництво "Всесвіт".
Читати Далі
Споживчий кредит
Фінансовий словник

Споживчий кредит

СПОЖИВЧИЙ КРЕДИТ (consumer credit) Короткострокові позички населенню на придбання товарів . Найбільш поширеними формами споживчого кредиту є кредитні рахунки в магазинах роздрібної торгівлі, особисті позики, що видаються банками та фінансовими будинками, покупки в розстрочку (hire purchase) і кредитні картки (credit cards).
Читати Далі
Фактичні інвестиції
Фінансовий словник

Фактичні інвестиції

Фактичні інвестиції Фактичні інвестиції - реальний обсяг інвестицій приватних фірм. Фактичні інвестиції дорівнюють сумі + запланованих інвестицій; і + незапланованих інвестицій в товарно-матеріальні запаси. Коли суми запланованих інвестицій і запланованих заощаджень домогосподарств не збігаються, то відбувається непередбачене інвестування або недоінвестування товарних запасів, які зрівнюють фактичні інвестиції і заощадження.
Читати Далі
Польський національний банк
Велика радянська енциклопедія

Польський національний банк

Єдиний емісійний, кредитний і розрахунковий центр країни. Засновано в 1945. Відповідно до статуту (1959) банк виконує такі функції: випускає грошові знаки і регулює грошовий обіг; надає кредити на поповнення оборотних коштів підприємствам державної промисловості, торгівлі, транспорту, капітального будівництва та комунального господарства, а також кооперативним організаціям; рефінансує ін.
Читати Далі