Площа (в геометрії)

Площа , одна з основних величин, пов'язаних з геометричними фігурами. У найпростіших випадках вимірюється числом заповнюють плоску фігуру одиничних квадратів, т. Е. Квадратів зі стороною, що дорівнює одиниці довжини.

Обчислення П. було вже в давнину одним з найважливіших завдань практичної геометрії (розбивка земельних ділянок). За кілька століть до нашої ери грецькі вчені мали точними правилами обчислення П., які в "Засадах" Евкліда вдягнулися у форму теорем. При цьому П. багатокутників визначалися тими ж прийомами розкладання і доповнення фігур, які збереглися в шкільному викладанні. Для обчислення П. фігур з криволінійним контуром застосовувався граничний перехід в формі вичерпання методу.

Теорія П. плоских фігур, обмежених простими (т. Е. Не пересікають себе) контурами, може бути побудована наступним чином. Розглядаються всілякі багатокутники, вписані в фігуру F, і всілякі багатокутники, описані навколо фігури F. (Обчислення П. багатокутника зводиться до обчислення П. рівновеликого йому квадрата, який може бути отриманий за допомогою належних прямолінійних розрізів і перекладання отриманих частин.) Нехай {Si} - числове безліч П. вписаних у фігуру багатокутників, a {Sd} - числове безліч П.описаних навколо фігури багатокутників. Безліч {Si} обмежена зверху (площею будь-якого описаного багатокутника), а безліч {Sd} обмежена знизу (наприклад, числом нуль). Найменше з чисел, що обмежує зверху безліч {Si}, називається нижньою площею фігури F, а найбільше з чисел, що обмежує знизу безліч {Sd}, називається верхньою площею фігури F. Якщо верхня П. фігури збігається з її нижньої П., то число S =

називається площею фігури, а сама постать - квадрованою фігурою. Для того щоб плоска фігура була квадрованою, необхідно і достатньо, щоб для будь-якого позитивного числа e можна було вказати такий описаний навколо фігури багатокутник і такий вписаний в фігуру багатокутник, різниця Sd-Si площ яких була б менше e.

Аналітично П. плоскої фігури може бути обчислена за допомогою інтегралів. Нехай фігура F - т. Зв. криволинейная трапеція ( рис. 1 ) - обмежена графіком заданої на сегменті [a, b] безперервної і неотрицательной функції f (x), відрізками прямих х = а і х = b і відрізком осі Ox між точками (а , 0) і (b, 0). П. такої фігури може бути виражена інтегралом

.

П. фігури, обмеженої замкнутим контуром, який зустрічається з паралеллю до осі Оу не більше ніж в двох точках, то, можливо обчислена як різниця П. двох фігур, подібних криволінійної трапеції. П. фігури може бути виражена у вигляді подвійного інтеграла:

,

де інтегрування поширюється на частину площині, зайнятої фігурою.

Теорія П. фігур, розташованих на кривій поверхні, може бути визначена наступним чином. Нехай F - однозв'язна фігура на гладкій поверхні, обмежена кусочно гладким контуром. Фігура F розбивається кусочно гладкими кривими на кінцеве число частин Фi, кожна з яких однозначно проектується на дотичну площину, що проходить через точку Mi, що належить частини Фi, (рис.2). Межа сум площ цих проекцій (якщо він існує), взятих за всіма елементами розбиття, при умовах, що максимум діаметрів цих елементів прагне до нуля і що він не залежить від вибору точок Mi, називається площею фігури F. Фігура на поверхні, для якої цей межа існує, називається квадрованою. Квадрованою є кусочно гладкі обмежені повні двосторонні поверхні. П. всієї поверхні складається з П. складових її частин.

Аналітично П. фігури F на поверхні, заданої рівнянням z = f (x, у), де функція f однозначна і має безперервні приватні похідні, може бути виражена таким чином

.

Тут G - замкнута область, яка є проекцією фігури F на площину Оху, ds - елемент площі на поверхні.

Про узагальнення поняття П. див. Міра множин.


Літ. : Фихтенгольц Г. М., Курс диференціального й інтегрального числення, 7 видавництво. , Т. 2, М., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математичний аналіз, т. 1-2, М., 1970; Ільїн В. А., Позняк Е. Р., Основи математичного аналізу, 3 видавництва. , Ч. 1-2, М., 1971-73.

Велика радянська енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія. 1969-1978.

Популярні Пости

Рекомендуємо, 2018

Пневмографія
Велика радянська енциклопедія

Пневмографія

(Від грец. pnéuma - дихання і ... графія запис (реєстрація) дихальних рухів людини і тварин. П. широко застосовується в експериментальних та клініко-фізіологічних дослідженнях для отримання відомостей про характер дихальних рухів, регуляції зовнішнього дихання і його наруш еніях при різних захворюваннях і патологічних станах.
Читати Далі
Орловський Кирило Прокопович
Велика радянська енциклопедія

Орловський Кирило Прокопович

Орловський Кирило Прокопович [18 (30). 1. 1895 село Мишковичі, нині Кіровського району Могильовської області БССР, - 13. 1. 1968 там же], один з керівників партизанського руху в Білорусії, Герой Радянського Союзу (20. 9. 1943), Герой Соціалістичної Праці (18. 1. 1958). Член КПРС з 1918. Народився в сім'ї селянина.
Читати Далі
Нормандская височина
Велика радянська енциклопедія

Нормандская височина

Найбільш висока, східна частина Арморіканской височини (Див. Армориканська височина) на С. -З. Франції. Висота до 417 м . Складена гранітами, сланцями, пісковиками. Верещатникі, луки; дубові, букові, соснові ліси. Велика радянська енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія. 1969-1978.
Читати Далі
Покришів Петро Опанасович
Велика радянська енциклопедія

Покришів Петро Опанасович

Покришів Петро Опанасович [11 (24). 8. 1914 р Гола Пристань, нині Херсонської області, - 23. 8. 1967 Ленінград], двічі Герой Радянського Союзу (10. 2. 1943 і 24. 8. 1943), генерал-майор авіації (1955). Член КПРС з 1941. У Радянській Армії з 1934. Закінчив військову школу пілотів в Одесі (1935) і Військову академію Генштабу (1954).
Читати Далі
Папірус
Велика радянська енциклопедія

Папірус

(Лат. Papyrus, від грец. Pápyros) трав'яниста рослина і що виготовлявся з нього в давнину і в ранньому середньовіччі писальний матеріал, а також рукописи на цьому матеріалі. Слово "П.", ймовірно, грецизовану форма давньоєгипетського слова "царський" (в Стародавньому Єгипті П. вважався царським рослиною з часу Птолемеїв - з початку 3 ст.
Читати Далі
Нёйіскій мирною угодою 1919
Велика радянська енциклопедія

Нёйіскій мирною угодою 1919

Підписаний 27 листопада в Неї-сюр-Сен (neuilly-sur-Seine, поблизу Парижа) Болгарією, учасницею потерпілого поразка в 1-ій світовій війні 1914-18 блоку Центральних держав, з одного боку, і отримали перемогу " союзними державами "(США, Великобританія, Франція, Італія, Японія, Греція та ін.) - з іншого.
Читати Далі
Павлуновскій Іван Петрович
Велика радянська енциклопедія

Павлуновскій Іван Петрович

Павлуновскій Іван Петрович [4 (16). 8. 1888-10. 2. 1940], учасник революційного руху в Росії, радянський державний діяч. Член Комуністичної партії з 1905. Народився в селі Ржава, нині Фатежском району Курської області, в сім'ї дрібного службовця. Під час Революції 1905-07 брав участь в створенні військової організації Курського комітету РСДРП.
Читати Далі