Площа (в геометрії)

Площа , одна з основних величин, пов'язаних з геометричними фігурами. У найпростіших випадках вимірюється числом заповнюють плоску фігуру одиничних квадратів, т. Е. Квадратів зі стороною, що дорівнює одиниці довжини.

Обчислення П. було вже в давнину одним з найважливіших завдань практичної геометрії (розбивка земельних ділянок). За кілька століть до нашої ери грецькі вчені мали точними правилами обчислення П., які в "Засадах" Евкліда вдягнулися у форму теорем. При цьому П. багатокутників визначалися тими ж прийомами розкладання і доповнення фігур, які збереглися в шкільному викладанні. Для обчислення П. фігур з криволінійним контуром застосовувався граничний перехід в формі вичерпання методу.

Теорія П. плоских фігур, обмежених простими (т. Е. Не пересікають себе) контурами, може бути побудована наступним чином. Розглядаються всілякі багатокутники, вписані в фігуру F, і всілякі багатокутники, описані навколо фігури F. (Обчислення П. багатокутника зводиться до обчислення П. рівновеликого йому квадрата, який може бути отриманий за допомогою належних прямолінійних розрізів і перекладання отриманих частин.) Нехай {Si} - числове безліч П. вписаних у фігуру багатокутників, a {Sd} - числове безліч П.описаних навколо фігури багатокутників. Безліч {Si} обмежена зверху (площею будь-якого описаного багатокутника), а безліч {Sd} обмежена знизу (наприклад, числом нуль). Найменше з чисел, що обмежує зверху безліч {Si}, називається нижньою площею фігури F, а найбільше з чисел, що обмежує знизу безліч {Sd}, називається верхньою площею фігури F. Якщо верхня П. фігури збігається з її нижньої П., то число S =

називається площею фігури, а сама постать - квадрованою фігурою. Для того щоб плоска фігура була квадрованою, необхідно і достатньо, щоб для будь-якого позитивного числа e можна було вказати такий описаний навколо фігури багатокутник і такий вписаний в фігуру багатокутник, різниця Sd-Si площ яких була б менше e.

Аналітично П. плоскої фігури може бути обчислена за допомогою інтегралів. Нехай фігура F - т. Зв. криволинейная трапеція ( рис. 1 ) - обмежена графіком заданої на сегменті [a, b] безперервної і неотрицательной функції f (x), відрізками прямих х = а і х = b і відрізком осі Ox між точками (а , 0) і (b, 0). П. такої фігури може бути виражена інтегралом

.

П. фігури, обмеженої замкнутим контуром, який зустрічається з паралеллю до осі Оу не більше ніж в двох точках, то, можливо обчислена як різниця П. двох фігур, подібних криволінійної трапеції. П. фігури може бути виражена у вигляді подвійного інтеграла:

,

де інтегрування поширюється на частину площині, зайнятої фігурою.

Теорія П. фігур, розташованих на кривій поверхні, може бути визначена наступним чином. Нехай F - однозв'язна фігура на гладкій поверхні, обмежена кусочно гладким контуром. Фігура F розбивається кусочно гладкими кривими на кінцеве число частин Фi, кожна з яких однозначно проектується на дотичну площину, що проходить через точку Mi, що належить частини Фi, (рис.2). Межа сум площ цих проекцій (якщо він існує), взятих за всіма елементами розбиття, при умовах, що максимум діаметрів цих елементів прагне до нуля і що він не залежить від вибору точок Mi, називається площею фігури F. Фігура на поверхні, для якої цей межа існує, називається квадрованою. Квадрованою є кусочно гладкі обмежені повні двосторонні поверхні. П. всієї поверхні складається з П. складових її частин.

Аналітично П. фігури F на поверхні, заданої рівнянням z = f (x, у), де функція f однозначна і має безперервні приватні похідні, може бути виражена таким чином

.

Тут G - замкнута область, яка є проекцією фігури F на площину Оху, ds - елемент площі на поверхні.

Про узагальнення поняття П. див. Міра множин.


Літ. : Фихтенгольц Г. М., Курс диференціального й інтегрального числення, 7 видавництво. , Т. 2, М., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математичний аналіз, т. 1-2, М., 1970; Ільїн В. А., Позняк Е. Р., Основи математичного аналізу, 3 видавництва. , Ч. 1-2, М., 1971-73.

Велика радянська енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія. 1969-1978.

Популярні Пости

Рекомендуємо, 2018

Науково-методичний кабінет
Велика радянська енциклопедія

Науково-методичний кабінет

(Методичний кабінет) навчально-допоміжний установа, яке, як правило, здійснює розробку навчальних планів, програм, навчально-нормативних документів; навчальної та навчально-методичної документації, літератури, посібників та ін.; вивчення, узагальнення та поширення передового педагогічного досвіду; надання методичної допомоги викладачам і майстрам (інструкторам) виробничого навчання, а також підвищення кваліфікації педагогічних та інженерно-педагогічних кадрів та ін.
Читати Далі
Планка постійна
Велика радянська енциклопедія

Планка постійна

Квант дії (Див. Дія) , фундаментальна фізична стала (Див. Фізичні постійні) , визначає широке коло фізичних явищ, для яких істотна дискретність дії. Ці явища вивчаються в квантовій механіці (див. Квантова механіка) . Введена М. Планком (1900) при встановленні закону розподілу енергії в спектрі випромінювання абсолютно чорного тіла (див.
Читати Далі
Омсукчанський хребет
Велика радянська енциклопедія

Омсукчанський хребет

Гірський хребет в Магаданської області РРФСР, між правими притоками р. Колими - Балигичаном і суго. Довжина 300 км . Висота до 1962 м . Осьова частина складена еффузівамі крейди, по периферії - мезозойські пісковики і сланці. Північні частини О. х. властиві м'які форми рельєфу, на Ю. висоти більше, форми вершин і гребенів різкі.
Читати Далі
Мезіновський
Велика радянська енциклопедія

Мезіновський

Селище міського типу в Гусь-Хрустальний районі Володимирської області РРФСР. Залізнична станція (Торфопродукт) на лінії Москва - Казань. Видобуток торфу. Велика радянська енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія. 1969-1978.
Читати Далі
Гостре
Велика радянська енциклопедія

Гостре

Селище міського типу в Донецькій області УРСР, підпорядкований Селидівської міськради. Ж.-д. станція (Гостра) на лінії Донецьк - Червоноармійське. Видобуток вугілля. Велика радянська енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія. 1969-1978.
Читати Далі
Жовтень (творче об'єднання)
Велика радянська енциклопедія

Жовтень (творче об'єднання)

"Жовтень" , Об'єднання нового вигляду художньої праці «Жовтень», засновано в 1928 в Москві. Включало художників, архітекторів, мистецтвознавців, діячів кіно і фотомистецтва (А. А. і В. Л. Весніни, М. Я. Гінзбург, А. А. Дейнека, Г. Г. Клуцис, Л. М. Лисицький, І. Л . Маца, А. І. Михайлов, П. І. Новицький, Д.
Читати Далі
Муньє Ролан
Велика радянська енциклопедія

Муньє Ролан

Муньє (Mousnier) Ролан (р. 7. 9. 1907 році, Париж), французький історик. Професор Сорбонни (з 1955), керівник Центру з досліджень європейської цивілізації (з 1958). Голова французького Національного комітету істориків (з 1971). Основні роботи М. присвячені історії Франції 16≈18 ст. , Головним чином аграрним відносинам і соціальній структурі суспільства, трактуються в антимарксистськими дусі.
Читати Далі