Площа (в геометрії)

Площа , одна з основних величин, пов'язаних з геометричними фігурами. У найпростіших випадках вимірюється числом заповнюють плоску фігуру одиничних квадратів, т. Е. Квадратів зі стороною, що дорівнює одиниці довжини.

Обчислення П. було вже в давнину одним з найважливіших завдань практичної геометрії (розбивка земельних ділянок). За кілька століть до нашої ери грецькі вчені мали точними правилами обчислення П., які в "Засадах" Евкліда вдягнулися у форму теорем. При цьому П. багатокутників визначалися тими ж прийомами розкладання і доповнення фігур, які збереглися в шкільному викладанні. Для обчислення П. фігур з криволінійним контуром застосовувався граничний перехід в формі вичерпання методу.

Теорія П. плоских фігур, обмежених простими (т. Е. Не пересікають себе) контурами, може бути побудована наступним чином. Розглядаються всілякі багатокутники, вписані в фігуру F, і всілякі багатокутники, описані навколо фігури F. (Обчислення П. багатокутника зводиться до обчислення П. рівновеликого йому квадрата, який може бути отриманий за допомогою належних прямолінійних розрізів і перекладання отриманих частин.) Нехай {Si} - числове безліч П. вписаних у фігуру багатокутників, a {Sd} - числове безліч П.описаних навколо фігури багатокутників. Безліч {Si} обмежена зверху (площею будь-якого описаного багатокутника), а безліч {Sd} обмежена знизу (наприклад, числом нуль). Найменше з чисел, що обмежує зверху безліч {Si}, називається нижньою площею фігури F, а найбільше з чисел, що обмежує знизу безліч {Sd}, називається верхньою площею фігури F. Якщо верхня П. фігури збігається з її нижньої П., то число S =

називається площею фігури, а сама постать - квадрованою фігурою. Для того щоб плоска фігура була квадрованою, необхідно і достатньо, щоб для будь-якого позитивного числа e можна було вказати такий описаний навколо фігури багатокутник і такий вписаний в фігуру багатокутник, різниця Sd-Si площ яких була б менше e.

Аналітично П. плоскої фігури може бути обчислена за допомогою інтегралів. Нехай фігура F - т. Зв. криволинейная трапеція ( рис. 1 ) - обмежена графіком заданої на сегменті [a, b] безперервної і неотрицательной функції f (x), відрізками прямих х = а і х = b і відрізком осі Ox між точками (а , 0) і (b, 0). П. такої фігури може бути виражена інтегралом

.

П. фігури, обмеженої замкнутим контуром, який зустрічається з паралеллю до осі Оу не більше ніж в двох точках, то, можливо обчислена як різниця П. двох фігур, подібних криволінійної трапеції. П. фігури може бути виражена у вигляді подвійного інтеграла:

,

де інтегрування поширюється на частину площині, зайнятої фігурою.

Теорія П. фігур, розташованих на кривій поверхні, може бути визначена наступним чином. Нехай F - однозв'язна фігура на гладкій поверхні, обмежена кусочно гладким контуром. Фігура F розбивається кусочно гладкими кривими на кінцеве число частин Фi, кожна з яких однозначно проектується на дотичну площину, що проходить через точку Mi, що належить частини Фi, (рис.2). Межа сум площ цих проекцій (якщо він існує), взятих за всіма елементами розбиття, при умовах, що максимум діаметрів цих елементів прагне до нуля і що він не залежить від вибору точок Mi, називається площею фігури F. Фігура на поверхні, для якої цей межа існує, називається квадрованою. Квадрованою є кусочно гладкі обмежені повні двосторонні поверхні. П. всієї поверхні складається з П. складових її частин.

Аналітично П. фігури F на поверхні, заданої рівнянням z = f (x, у), де функція f однозначна і має безперервні приватні похідні, може бути виражена таким чином

.

Тут G - замкнута область, яка є проекцією фігури F на площину Оху, ds - елемент площі на поверхні.

Про узагальнення поняття П. див. Міра множин.


Літ. : Фихтенгольц Г. М., Курс диференціального й інтегрального числення, 7 видавництво. , Т. 2, М., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математичний аналіз, т. 1-2, М., 1970; Ільїн В. А., Позняк Е. Р., Основи математичного аналізу, 3 видавництва. , Ч. 1-2, М., 1971-73.

Велика радянська енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія. 1969-1978.

Популярні Пости

Рекомендуємо, 2018

/ ​​IEC 8824-2
Довідник ГОСТів

/ ​​IEC 8824-2

ДСТУ ISO / IEC 8824-2 {-2001} Інформаційна технологія. Абстрактна синтаксична нотація версії один (АСН. 1). Частина 2. Специфікація інформаційного об'єкта. ОКС: 35. 100. 60 КГС: П85 Види подання інформації та математичне забезпечення машин Дія: З 01. 07. 2002 Примітка: містить автентичний текст ISO / IEC 8824-2 -98 Текст документа: ДСТУ ISO / IEC 8824-2 "Інформаційна технологія.
Читати Далі
9237
Довідник ГОСТів

9237

ДСТУ ISO 9237 {-99} Матеріали текстильні. Метод визначення воздухопроніцаемостіОКС: 19. 060 КГС: М09 Методи випробувань. Упаковка. Маркування Дія: З 01. 01. 2001 Примітка: відповідає ЄП / ІСО 9237-95 Текст документа: ДСТУ ISO 9237 "Матеріали текстильні. Метод визначення повітропроникності" Довідник ГОСТів.
Читати Далі
Новий (місто Миколаївської обл.)
Велика радянська енциклопедія

Новий (місто Миколаївської обл.)

Новий Буг , місто (з 1961), центр Новобузького району Миколаївської області УРСР, в 5 км від ж. -д. станції Новий Буг (на лінії Миколаїв - Знам'янка). 17 тис. Жителів (1974). Сироробний завод; меблева фабрика. Технікум механізації і електрифікації сільського господарства, педагогічне училище. Велика радянська енциклопедія.
Читати Далі
Форвардні процентна ставка
Фінансовий словник

Форвардні процентна ставка

Форвардні процентна ставка Форвардні процентна ставка - процентна ставка, зафіксована на сьогоднішній день, по якій на певну дату в майбутньому буде надано кредит. По-англійськи: Forward interest rate Див. також: Форвардні контракти Фінансовий словник Фінам. .
Читати Далі
Перхулі
Велика радянська енциклопедія

Перхулі

Грузинський (чоловічий хороводу) народний танець. Відомо до 20 видів. За старих часів виконання П. поєднувалося з поданням берікаоба (Див. Берікаоба) . Одна з поширених форм - багатоярусний П. (орсартула або земкрело; від "Земо" - верхній); музичний розмір Велика радянська енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія.
Читати Далі
Термін доставки
Фінансовий словник

Термін доставки

Термін доставки Термін доставки - в РФ - термін, протягом якого прийняті до перевезення між митницями товари та транспортні засоби, а також документи на них повинні бути доставлені в митницю призначення. Термін доставки встановлюється митницею відправлення відповідно до звичайних термінами доставки, виходячи з можливостей виду транспорту, що використовується для такого перевезення, наміченого маршруту та інших умов транспортування.
Читати Далі
Оніхія
Велика радянська енциклопедія

Оніхія

Оніхоз (від грец. Ónyx, рід. Падіж ónychos - ніготь), ураження нігтів різного походження. Вроджена О. обумовлена ​​спадковими дефектами зроговіння. Придбана О. може бути викликана порушеннями функцій ендокринної, нервової та ін. Систем; зовнішніми впливом (хімічні речовини, механічні травми і т. п.), а також розвинутися при ураженні нігтьових пластинок патогенними грибками (див.
Читати Далі
51554
Довідник ГОСТів

51554

ГОСТ Р 51554 {-99} Вироби текстильні готові . Ковдри постільні. Розміри, вимірювання, маркування. ОКС: 97. 160 КГС: М66 Штучні бавовняні вироби Дія: З 01. 01. 2001 Примітка: представляє автентичний текст ЄП 14-94 Текст документа: ГОСТ Р 51554 "Вироби текстильні готові. Ковдри постільні. Розміри, вимірювання, маркування.
Читати Далі