Площа (в геометрії)

Площа , одна з основних величин, пов'язаних з геометричними фігурами. У найпростіших випадках вимірюється числом заповнюють плоску фігуру одиничних квадратів, т. Е. Квадратів зі стороною, що дорівнює одиниці довжини.

Обчислення П. було вже в давнину одним з найважливіших завдань практичної геометрії (розбивка земельних ділянок). За кілька століть до нашої ери грецькі вчені мали точними правилами обчислення П., які в "Засадах" Евкліда вдягнулися у форму теорем. При цьому П. багатокутників визначалися тими ж прийомами розкладання і доповнення фігур, які збереглися в шкільному викладанні. Для обчислення П. фігур з криволінійним контуром застосовувався граничний перехід в формі вичерпання методу.

Теорія П. плоских фігур, обмежених простими (т. Е. Не пересікають себе) контурами, може бути побудована наступним чином. Розглядаються всілякі багатокутники, вписані в фігуру F, і всілякі багатокутники, описані навколо фігури F. (Обчислення П. багатокутника зводиться до обчислення П. рівновеликого йому квадрата, який може бути отриманий за допомогою належних прямолінійних розрізів і перекладання отриманих частин.) Нехай {Si} - числове безліч П. вписаних у фігуру багатокутників, a {Sd} - числове безліч П.описаних навколо фігури багатокутників. Безліч {Si} обмежена зверху (площею будь-якого описаного багатокутника), а безліч {Sd} обмежена знизу (наприклад, числом нуль). Найменше з чисел, що обмежує зверху безліч {Si}, називається нижньою площею фігури F, а найбільше з чисел, що обмежує знизу безліч {Sd}, називається верхньою площею фігури F. Якщо верхня П. фігури збігається з її нижньої П., то число S =

називається площею фігури, а сама постать - квадрованою фігурою. Для того щоб плоска фігура була квадрованою, необхідно і достатньо, щоб для будь-якого позитивного числа e можна було вказати такий описаний навколо фігури багатокутник і такий вписаний в фігуру багатокутник, різниця Sd-Si площ яких була б менше e.

Аналітично П. плоскої фігури може бути обчислена за допомогою інтегралів. Нехай фігура F - т. Зв. криволинейная трапеція ( рис. 1 ) - обмежена графіком заданої на сегменті [a, b] безперервної і неотрицательной функції f (x), відрізками прямих х = а і х = b і відрізком осі Ox між точками (а , 0) і (b, 0). П. такої фігури може бути виражена інтегралом

.

П. фігури, обмеженої замкнутим контуром, який зустрічається з паралеллю до осі Оу не більше ніж в двох точках, то, можливо обчислена як різниця П. двох фігур, подібних криволінійної трапеції. П. фігури може бути виражена у вигляді подвійного інтеграла:

,

де інтегрування поширюється на частину площині, зайнятої фігурою.

Теорія П. фігур, розташованих на кривій поверхні, може бути визначена наступним чином. Нехай F - однозв'язна фігура на гладкій поверхні, обмежена кусочно гладким контуром. Фігура F розбивається кусочно гладкими кривими на кінцеве число частин Фi, кожна з яких однозначно проектується на дотичну площину, що проходить через точку Mi, що належить частини Фi, (рис.2). Межа сум площ цих проекцій (якщо він існує), взятих за всіма елементами розбиття, при умовах, що максимум діаметрів цих елементів прагне до нуля і що він не залежить від вибору точок Mi, називається площею фігури F. Фігура на поверхні, для якої цей межа існує, називається квадрованою. Квадрованою є кусочно гладкі обмежені повні двосторонні поверхні. П. всієї поверхні складається з П. складових її частин.

Аналітично П. фігури F на поверхні, заданої рівнянням z = f (x, у), де функція f однозначна і має безперервні приватні похідні, може бути виражена таким чином

.

Тут G - замкнута область, яка є проекцією фігури F на площину Оху, ds - елемент площі на поверхні.

Про узагальнення поняття П. див. Міра множин.


Літ. : Фихтенгольц Г. М., Курс диференціального й інтегрального числення, 7 видавництво. , Т. 2, М., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математичний аналіз, т. 1-2, М., 1970; Ільїн В. А., Позняк Е. Р., Основи математичного аналізу, 3 видавництва. , Ч. 1-2, М., 1971-73.

Велика радянська енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія. 1969-1978.

Популярні Пости

Рекомендуємо, 2018

Порциг Вальтер
Велика радянська енциклопедія

Порциг Вальтер

Порциг (Porzig) Вальтер (30. 3. 1895 Роннебург, Тюрінгія, - 14. 10. 1961 Майнц), німецький філолог. У 1922-25 викладав в Лейпцігському університеті, професор університетів Берна, Єни (з 1935), Страсбурга (1941-44) і Майнца (з 1951). З 1935 видавав журнал "Indogermanisches Jahrbuch". Основні праці в області порівняльного індо-європейського мовознавства, давньогрецької мови і літератури.
Читати Далі
Михалков Сергій Володимирович
Велика радянська енциклопедія

Михалков Сергій Володимирович

Михалков Сергій Володимирович [р. 28. 2 (13. 3). 1913 Москва], російський радянський письменник і громадський діяч, академік АПН СРСР (1971), заслужений діяч мистецтв РРФСР (1967), Герой Соціалістичної Праці (1973). Член КПРС з 1950. Народився в сім'ї службовця. Навчався в Літературному інституті ім.
Читати Далі
7722
Довідник ГОСТів

7722

ГОСТ 7722 {-77} Розгорнення ручні циліндричні. Конструкція і розміри. ОКС: 25. 100. 30 КГС: Г23 Інструмент для обробки різанням Натомість: ГОСТ 7722-70 Дія: З 01. 01. 78 Змінено: ІКС 2/81 Текст документа: ГОСТ 7722 "Розгорнення ручні циліндричні. Конструкція і розміри. " Довідник ГОСТів. 2009.
Читати Далі
12175
Довідник ГОСТів

12175

ГОСТ 12175 {-90 (МЕК 811-1-3-93)} Загальні методи випробувань матеріалів для ізоляції та оболонок електричних кабелів. Методи визначення щільності. Випробування на водопоглинання і усадку. ОКС: 29. 035. 01, 29. 060. 20 КГС: Е49 Методи випробувань. Упаковка. Маркування Натомість: ГОСТ 12175-73 Дія: З 01.
Читати Далі
Полігенні вулкани
Велика радянська енциклопедія

Полігенні вулкани

(Від Поли ... і грец. genes - що породжує, народжений) вулкани, утворені виверженнями, переривається тривалими періодами спокою і змінювали характер вивержень, а часто і склад лав (наприклад, Великий Семячик на Камчатці в СРСР, Кіліманджаро в Африці) . Протилежністю їх є моногенні вул ани, створені єдиним виверженням (наприклад, вулкан Іванова на Камчатці).
Читати Далі
10303-49
Довідник ГОСТів

10303-49

ДСТУ ISO 10303-49 {-2003} Системи автоматизації виробництва і їх інтеграція. Подання даних про виріб і обмін цими даними. Частина 49. Інтегровані узагальнені ресурси. Структура і властивості процесу. ОКС: 25. 040. 40 КГС: П87 Автоматизовані системи управління Дія: З 01. 01. 2004 Примітка: представляє автентичний текст ІСО 10303-49-98 Текст документа: ДСТУ ISO 10303-49 "Системи автоматизації виробництва і їх інтеграція.
Читати Далі