Невласні інтеграли

узагальнення класичного поняття інтеграла на випадок необмежених функцій і функцій, заданих на нескінченному проміжку інтегрування (див. Інтеграл). Певний інтеграл як межа інтегральних сум Рімана може існувати ( мати певний кінцеве значення) лише для обмежених функцій, заданих на кінцевому інтервалі. Тому, якщо інтервал інтегрування або підінтегральна функція не обмежені, для визначення інтеграла вимагає я ще один граничний перехід: що виходять при цьому інтеграли називаються невласними інтегралами. Якщо функція f ( x ) інтегрована на будь-якому кінцевому відрізку [ a , N ] і якщо існує

то його називають Н. п. функції f (x) на інтервалі [ а , ∞] і позначають

В цьому випадку говорять , що Н. і. сходиться. Коли ця межа, а значить і Н. і., не існує, то іноді говорять, що Н. і. розходиться. Наприклад,

1 і розходиться при γ ≤ 1. Аналогічно визначають Н. і. на інтервалах "> сходиться при γ> 1 і розходиться при γ ≤ 1. Аналогічно визначають Н. і. на інтервалах [-∞, b ] і [-∞, ∞]. Якщо функція f ( x ) , задана на відрізку [ a , b ], не обмежена в околиці точки a < , але інтегрована на будь-якому відрізку [ а + ε, b ], 0 <ε << b - a і якщо існує то його називають Н.і. функції f

(x) на [ а , b ] і записують звичайним чином: Аналогічно надходять, якщо f

(< x ) не обмежена в околиці точки b. Якщо існує Н. і. або то кажуть, що Н. і. або

абсолютно сходиться: якщо ж останні інтеграли сходяться (але перші розходяться), то Н. і.

або

називаються умовно сходяться. Завдання, що призводять до Н. і. , Розглядалися в геометричній формі Е. Торрічеллі і П. Ферма в 1644. Точні визначення Н. і. дані О. Коші в 1823. Різниця умовно і абсолютно сходяться Н. і. встановлено Дж. Стоксом і П. Р. Л. Дирихле (1854). Ряд робіт математиків 19 ст. присвячений обчисленню Н. і. у випадках, коли відповідна первісна не виражає через елементарні функції. Основними прийомами обчислення Н. і. є диференціювання та інтегрування по параметру, розкладання в ряди, застосування теорії відрахувань. Значення багатьох Н. і. наводяться в різних таблицях. Н. і. мають важливе значення в багатьох областях математичного аналізу і його додатків. У теорії спеціальних функцій (циліндричних функцій, ортогональних многочленів і ін.) Одним з основних способів вивчення є зображення функцій у вигляді Н. і. , Що залежать від параметра, наприклад

(див. Гамма-функція). До Н. і. відноситься і Фур'є інтеграл

,

а також інтеграли, що зустрічаються при ін. інтегральних перетвореннях. Рішення крайових задач (Див. Крайові задачі) математичної фізики записуються кратними Н. і. з необмеженою підінтегральною функцією. У теорії ймовірностей важливе значення має Н.і.

в теорії дифракції світла - Н. і. В ряді випадків розходяться Н. і. можна приписати певне значення (див. Підсумовування). Зокрема, якщо інтеграл розходиться, але існує

то

А

називається головним значенням Н. і. і позначають

Так, Аналогічно вводиться головне значення Н. і. від необмежених функцій. У роботах Н. І. Мусхелишвили і його учнів побудована теорія інтегральних рівнянь, що містять Н. і. , Що розуміються в сенсі головного значення. Літ. :

Смирнов В. І., Курс вищої математики, 20 вид. , Т. 2, М. - Л., 1967; Фихтенгольц Г. М., Курс диференціального й інтегрального числення, 7 видавництво. т. 2, М., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математичний аналіз, т. 1, М., 1970.

Велика радянська енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія. 1969-1978.

Популярні Пости

Рекомендуємо, 2018

Потхаст серпня
Велика радянська енциклопедія

Потхаст серпня

Потхаст (Potthast) Август (13. 8. 1824 Хёкстер, - 13. 2. 1898 Леобшюц), німецький історик. У 1874-94 бібліотекар бібліотеки німецького рейхстагу. Основна робота - зведений бібліографічний покажчик авторів і видань джерел європейського середньовіччя, головним чином оповідного характеру, періоду 375-1500 та належних до них робіт по допоміжних історичних дисциплін; зберіг велике значення до теперішнього часу.
Читати Далі
Орф Карл
Велика радянська енциклопедія

Орф Карл

Орф (Orff) Карл (р. 10. 7. 1895 Мюнхен), німецький композитор, педагог, театральний діяч і драматург (ФРН). У 1913≈14 навчався композиції в мюнхенській Академії музичного мистецтва, удосконалювався у Г. Камінського. Працював капельмейстером драматичного театру Мюнхена, пізніше виступав як диригент в концертах.
Читати Далі
Предкрилок
Велика радянська енциклопедія

Предкрилок

Додаткова несуча поверхня (крильце), розташована в носовій частині крила (Див. Крило) літака; збільшує підйомну силу крила, що поліпшує стійкість і зменшує посадкову швидкість літака. Може бути нерухомим і рухомим (прибирається). Випуск і прибирання П. виробляються автоматично (при зміні кута атаки крила) або по команді з кабіни пілота за допомогою гідро, пневмо-і електроприводів.
Читати Далі
Московський інженерно-будівельний інститут
Велика радянська енциклопедія

Московський інженерно-будівельний інститут

Ім. В. В. Куйбишева (МІСД), найбільший в СРСР інститут будівельного профілю. Заснований в 1921 як Московський практичний будівельний інститут, після ряду реорганізацій отримав в 1933 найменування МІСД. У 1935 інституту присвоєно ім'я В. В. Куйбишева. В організації та розвитку МІСД видну роль зіграли вчені І.
Читати Далі
Мирович Василь Якович
Велика радянська енциклопедія

Мирович Василь Якович

Мирович Василь Якович [1740 - 15 (26). 9. 1 764, Петербург], підпоручик Смоленського піхотного полку, організатор невдалого палацового перевороту +1764 в Росії. Будучи офіцером караульної команди в Шліссельбурзькій фортеці, де утримувався в ув'язненні Іван VI Антонович, М. мав намір звільнити його і звести на престол, скинувши Катерину II.
Читати Далі
Бовдурів Микола Федорович
Велика радянська енциклопедія

Бовдурів Микола Федорович

Бовдурів Микола Федорович [1783, Сольвичегодськ, ≈ 6 (18). 3. 1 833, Астрахань], російський поет, теоретик вірша. Писав прозу, ліричні та патріотичні вірші, байки, "народні" романси. В історію російської культури увійшов як укладач "Словника давньої і нової поезії" (ч. 1≈3, изд. один тисяча вісімсот двадцять один ) ≈ першої літературної енциклопедії в Росії.
Читати Далі