Невласні інтеграли

узагальнення класичного поняття інтеграла на випадок необмежених функцій і функцій, заданих на нескінченному проміжку інтегрування (див. Інтеграл). Певний інтеграл як межа інтегральних сум Рімана може існувати ( мати певний кінцеве значення) лише для обмежених функцій, заданих на кінцевому інтервалі. Тому, якщо інтервал інтегрування або підінтегральна функція не обмежені, для визначення інтеграла вимагає я ще один граничний перехід: що виходять при цьому інтеграли називаються невласними інтегралами. Якщо функція f ( x ) інтегрована на будь-якому кінцевому відрізку [ a , N ] і якщо існує

то його називають Н. п. функції f (x) на інтервалі [ а , ∞] і позначають

В цьому випадку говорять , що Н. і. сходиться. Коли ця межа, а значить і Н. і., не існує, то іноді говорять, що Н. і. розходиться. Наприклад,

1 і розходиться при γ ≤ 1. Аналогічно визначають Н. і. на інтервалах "> сходиться при γ> 1 і розходиться при γ ≤ 1. Аналогічно визначають Н. і. на інтервалах [-∞, b ] і [-∞, ∞]. Якщо функція f ( x ) , задана на відрізку [ a , b ], не обмежена в околиці точки a < , але інтегрована на будь-якому відрізку [ а + ε, b ], 0 <ε << b - a і якщо існує то його називають Н.і. функції f

(x) на [ а , b ] і записують звичайним чином: Аналогічно надходять, якщо f

(< x ) не обмежена в околиці точки b. Якщо існує Н. і. або то кажуть, що Н. і. або

абсолютно сходиться: якщо ж останні інтеграли сходяться (але перші розходяться), то Н. і.

або

називаються умовно сходяться. Завдання, що призводять до Н. і. , Розглядалися в геометричній формі Е. Торрічеллі і П. Ферма в 1644. Точні визначення Н. і. дані О. Коші в 1823. Різниця умовно і абсолютно сходяться Н. і. встановлено Дж. Стоксом і П. Р. Л. Дирихле (1854). Ряд робіт математиків 19 ст. присвячений обчисленню Н. і. у випадках, коли відповідна первісна не виражає через елементарні функції. Основними прийомами обчислення Н. і. є диференціювання та інтегрування по параметру, розкладання в ряди, застосування теорії відрахувань. Значення багатьох Н. і. наводяться в різних таблицях. Н. і. мають важливе значення в багатьох областях математичного аналізу і його додатків. У теорії спеціальних функцій (циліндричних функцій, ортогональних многочленів і ін.) Одним з основних способів вивчення є зображення функцій у вигляді Н. і. , Що залежать від параметра, наприклад

(див. Гамма-функція). До Н. і. відноситься і Фур'є інтеграл

,

а також інтеграли, що зустрічаються при ін. інтегральних перетвореннях. Рішення крайових задач (Див. Крайові задачі) математичної фізики записуються кратними Н. і. з необмеженою підінтегральною функцією. У теорії ймовірностей важливе значення має Н.і.

в теорії дифракції світла - Н. і. В ряді випадків розходяться Н. і. можна приписати певне значення (див. Підсумовування). Зокрема, якщо інтеграл розходиться, але існує

то

А

називається головним значенням Н. і. і позначають

Так, Аналогічно вводиться головне значення Н. і. від необмежених функцій. У роботах Н. І. Мусхелишвили і його учнів побудована теорія інтегральних рівнянь, що містять Н. і. , Що розуміються в сенсі головного значення. Літ. :

Смирнов В. І., Курс вищої математики, 20 вид. , Т. 2, М. - Л., 1967; Фихтенгольц Г. М., Курс диференціального й інтегрального числення, 7 видавництво. т. 2, М., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математичний аналіз, т. 1, М., 1970.

Велика радянська енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія. 1969-1978.

Популярні Пости

Рекомендуємо, 2018

Нейвелі
Велика радянська енциклопедія

Нейвелі

Місто в Індії, в штаті Тамілнад. 55, 4 тис. Жителів (1971). Місто виріс в 1960-х рр. У зв'язку з початком видобутку лігнітів і будівництвом ( при співробітництві СРСР) ТЕС. Комплекс вуглехімічний підприємств (виробництво азотних добрив, вироблення карбонизовані брикетів і ін.). Розвитком Н. відає державна корпорація.
Читати Далі
Підщепи
Велика радянська енциклопедія

Підщепи

Плодових порід, рослини або частини їх, на яких проведена щеплення культурного сорту - щепи (Див. Прищепа) (див. Щеплення в рослинництві). П. можуть бути насінного (сіянці або дички) і вегетативного походження. П. і щепа, зростаючись, утворюють єдиний рослинний організм, але виконують різні функції. П.
Читати Далі
Мінусинська кінь
Велика радянська енциклопедія

Мінусинська кінь

Степова кінь неспеціалізованого типу, що відвіку розводиться в Минусинской улоговині (на території Хакасской автомномной обл.). Від інших степових порід коней Азії відрізняється більш задовільним екстер'єром і масивністю. М. л. невелика, міцної конституції, витривала, невибаглива, пристосована до табунного вмісту, добре переносить тебеневку (Див.
Читати Далі
Муданьцзян (річка в Китаї)
Велика радянська енциклопедія

Муданьцзян (річка в Китаї)

Муданьцзян, річка на С. -В. Китаю, права притока р. Сунгарі (басейн Амура). Довжина 700 км (по ін. Даним, 550 км), площа басейну близько 40 тис. Км2. Бере початок в горах Муданьлін, велика частина течії в Маньчжурії-корейських горах. Весняно-літня повінь, зимова межень. Середня витрата води в середній течії (у м Муданьцзян) ≈ 181 м3 / сек.
Читати Далі
Негрос
Велика радянська енциклопедія

Негрос

(Negros) острів в центральній частині архіпелагу Філіппін. Площа 12, 7 тис. км 2 . Населення (з прилеглими островами) 2, 3 млн. Чол. (1970). Рельєф переважно гірський, заввишки до 2460 м (вулкан Канлаон), на З. і С. -З. - родючі рівнини, складені головним чином вулканічними ґрунтами. Клімат субекваторіальний, мусонний.
Читати Далі
Механокалоричний ефект
Велика радянська енциклопедія

Механокалоричний ефект

Спостерігається в рідкому гелії нижче температури переходу в надтекучий стан (нижче 2, 19 К): при витіканні гелію з посудини через вузький капіляр або щілину (механокалоричний ефект 1 мкм ) залишається в посудині гелій нагрівається. М. е. був відкритий в 1939 англійскіміё фізиками Д. Г. Доунтом і К. Мендельсоном; ефект отримав пояснення на основі квантової теорії надплинності (Див.
Читати Далі
Парапітек
Велика радянська енциклопедія

Парапітек

(Parapithecus; від пара (Див. Пара ...) ... і грец . píthekos - мавпа) викопна людиноподібна мавпа. Фрагмент нижньої щелепи П. з зубами знайдений німецьким вченим О. Шлоссером (1911) в ніжнеолігоценових відкладеннях поблизу Каїра разом із залишками пропліопітек, попередником якого вважають П. Ряд особливостей зубної системи П.
Читати Далі
Полярні флори
Велика радянська енциклопедія

Полярні флори

Сукупність видів рослин, що мешкають в безлісих районах Арктичної підобласті (Див. Арктична підобласть) (області), а також на безлісих субантарктичних островах Антарктиди. П. ф. включають кілька сот видів лишайників і мохів і до тисячі видів судинних рослин - злаків, осокових, Ситникова, вербових, гвоздикових, Лютикова, хрестоцвітних, камнеломкових, розоцвітих, вересових, норичникових, складноцвітих.
Читати Далі