Площа (в геометрії)

Площа , одна з основних величин, пов'язаних з геометричними фігурами. У найпростіших випадках вимірюється числом заповнюють плоску фігуру одиничних квадратів, т. Е. Квадратів зі стороною, що дорівнює одиниці довжини.

Обчислення П. було вже в давнину одним з найважливіших завдань практичної геометрії (розбивка земельних ділянок). За кілька століть до нашої ери грецькі вчені мали точними правилами обчислення П., які в "Засадах" Евкліда вдягнулися у форму теорем. При цьому П. багатокутників визначалися тими ж прийомами розкладання і доповнення фігур, які збереглися в шкільному викладанні. Для обчислення П. фігур з криволінійним контуром застосовувався граничний перехід в формі вичерпання методу.

Теорія П. плоских фігур, обмежених простими (т. Е. Не пересікають себе) контурами, може бути побудована наступним чином. Розглядаються всілякі багатокутники, вписані в фігуру F, і всілякі багатокутники, описані навколо фігури F. (Обчислення П. багатокутника зводиться до обчислення П. рівновеликого йому квадрата, який може бути отриманий за допомогою належних прямолінійних розрізів і перекладання отриманих частин.) Нехай {Si} - числове безліч П. вписаних у фігуру багатокутників, a {Sd} - числове безліч П.описаних навколо фігури багатокутників. Безліч {Si} обмежена зверху (площею будь-якого описаного багатокутника), а безліч {Sd} обмежена знизу (наприклад, числом нуль). Найменше з чисел, що обмежує зверху безліч {Si}, називається нижньою площею фігури F, а найбільше з чисел, що обмежує знизу безліч {Sd}, називається верхньою площею фігури F. Якщо верхня П. фігури збігається з її нижньої П., то число S =

називається площею фігури, а сама постать - квадрованою фігурою. Для того щоб плоска фігура була квадрованою, необхідно і достатньо, щоб для будь-якого позитивного числа e можна було вказати такий описаний навколо фігури багатокутник і такий вписаний в фігуру багатокутник, різниця Sd-Si площ яких була б менше e.

Аналітично П. плоскої фігури може бути обчислена за допомогою інтегралів. Нехай фігура F - т. Зв. криволинейная трапеція ( рис. 1 ) - обмежена графіком заданої на сегменті [a, b] безперервної і неотрицательной функції f (x), відрізками прямих х = а і х = b і відрізком осі Ox між точками (а , 0) і (b, 0). П. такої фігури може бути виражена інтегралом

.

П. фігури, обмеженої замкнутим контуром, який зустрічається з паралеллю до осі Оу не більше ніж в двох точках, то, можливо обчислена як різниця П. двох фігур, подібних криволінійної трапеції. П. фігури може бути виражена у вигляді подвійного інтеграла:

,

де інтегрування поширюється на частину площині, зайнятої фігурою.

Теорія П. фігур, розташованих на кривій поверхні, може бути визначена наступним чином. Нехай F - однозв'язна фігура на гладкій поверхні, обмежена кусочно гладким контуром. Фігура F розбивається кусочно гладкими кривими на кінцеве число частин Фi, кожна з яких однозначно проектується на дотичну площину, що проходить через точку Mi, що належить частини Фi, (рис.2). Межа сум площ цих проекцій (якщо він існує), взятих за всіма елементами розбиття, при умовах, що максимум діаметрів цих елементів прагне до нуля і що він не залежить від вибору точок Mi, називається площею фігури F. Фігура на поверхні, для якої цей межа існує, називається квадрованою. Квадрованою є кусочно гладкі обмежені повні двосторонні поверхні. П. всієї поверхні складається з П. складових її частин.

Аналітично П. фігури F на поверхні, заданої рівнянням z = f (x, у), де функція f однозначна і має безперервні приватні похідні, може бути виражена таким чином

.

Тут G - замкнута область, яка є проекцією фігури F на площину Оху, ds - елемент площі на поверхні.

Про узагальнення поняття П. див. Міра множин.


Літ. : Фихтенгольц Г. М., Курс диференціального й інтегрального числення, 7 видавництво. , Т. 2, М., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математичний аналіз, т. 1-2, М., 1970; Ільїн В. А., Позняк Е. Р., Основи математичного аналізу, 3 видавництва. , Ч. 1-2, М., 1971-73.

Велика радянська енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія. 1969-1978.

Популярні Пости

Рекомендуємо, 2018

Оліфантс
Велика радянська енциклопедія

Оліфантс

(Olifants) Слонова, назва трьох річок в Південній Африці. 1) Найбільший (правий) приплив Лімпопо. Протікає по території ПАР і Мозамбіку. Довжина 560 км . Річка бере початок на височини Вітватерсранд, в верхів'ях маловодна, порожиста. Найбільш повноводна влітку в зв'язку з мусонними дощами. 2) Річка в Капській провінції ПАР.
Читати Далі
Парапроцесс
Велика радянська енциклопедія

Парапроцесс

Справжнє намагнічування, зростання абсолютної величини мимовільної намагніченості J s ферро-, феррі- і в загальному випадку антиферромагнетиков під дією зовнішнього магнітного поля Н . П. обумовлений орієнтацією в поле Н елементарних носіїв магнетизму (спінових магнітних моментів (Див. Магнітний момент) електронів або магнітних моментів іонів), залишилися не поверненими в напрямку результуючої намагніченості внаслідок руйнівного дії теплового руху.
Читати Далі
Поперечна компенсація
Велика радянська енциклопедія

Поперечна компенсація

Паралельне включення пристроїв (Див. Компенсуючі пристрою) в електричну систему з метою зміни реактивних параметрів ліній електропередачі (ЛЕП) змінного струму і реактивної потужності, споживаної в системі. В ЛЕП великої протяжності для П. к. Застосовують переважно реактори електричні (Див. Реактор електричний) ; їх встановлюють на електричних підстанціях і перемикачів пунктах.
Читати Далі
Молье Ріхард
Велика радянська енциклопедія

Молье Ріхард

Молье (Mollier) Ріхард (30. 11. 1863 Трієст, - 13. 3. 1935 Дрезден), німецький теплотехнік. У 1897-1933 професор Вищої технічної школи в Дрездені. Досліджував властивості водяної пари. Склав таблиці термодинамічних властивостей водяної пари і i - s-діаграму (див. Ентальпія, Ентропія). У 1906 в Берліні була видана його книга "Нові таблиці і діаграми для водяної пари".
Читати Далі
Оніашвілі Отар Давидович
Велика радянська енциклопедія

Оніашвілі Отар Давидович

Оніашвілі Отар Давидович [14 (27). 5. 1914 Тбілісі, ≈ 14. 8. 1968 там же], радянський учений в області будівельної механіки, академік АН Грузинської РСР (1960), заслужений діяч науки і техніки Грузинської РСР (1964). У 1935 закінчив Грузинський політехнічний інститут. З 1947 завідувач відділом просторових конструкцій інституту будівельної механіки і сейсмостійкості АН Грузинської РСР.
Читати Далі
Піраргірит
Велика радянська енциклопедія

Піраргірит

(Від грец. Pýr - вогонь і árgyros - срібло) мінерал хімічного складу Ag 3 SbS 3 ; містить: 59, 76% Ag; 22, 48% Sb; 17, 76% S. Кристалізується в тригональной системі. Зустрічається у вигляді зерен неправильної форми і їх агрегатів, а також - призматичних кристалів. Колір темно-червоний з алмазним блиском; крихкий.
Читати Далі
Загальний Сирт
Велика радянська енциклопедія

Загальний Сирт

Височина на Ю. -В. Європейської частини СРСР. Простягається в широтному напрямку на 500 км ; на Ст примикає до гір Південного Уралу. Висота до 405 м . За О. С. проходить вододіл між басейн рр. Волги і Уралу. Складений пісковиками, глинами, вапняками пермського і мезозойського віку. Для О. С. характерні платообразниє вододіли і ступінчастість схилів.
Читати Далі
Мурманськ
Велика радянська енциклопедія

Мурманськ

(До квітня 1917 - Романов-на-Мурмані) місто, центр Мурманської області РРФСР. Розташований на східному узбережжі Кольського затоки Баренцева моря, незамерзаючий порт (див. Мурманський морський порт), в 50 км від виходу у відкрите море. Ж.-д. станція. 338 тис. Жителів (1973; в 1939 було 119 тис., В 1926 - 9 тис.
Читати Далі